【错位相减法（(含答案)）】在数学的学习过程中，数列求和是一个重要的知识点，尤其是在等比数列与等差数列的结合中，常常需要用到一种特殊的求和方法——错位相减法。这种方法不仅能够帮助我们快速求出复杂数列的和，还能锻炼我们的逻辑思维能力和代数运算能力。
一、什么是错位相减法？
错位相减法是一种用于求解形如“等差数列乘以等比数列”的数列前n项和的方法。其基本思路是：将原数列与其对应的等比数列进行错位相减，从而消去部分项，简化计算过程。
例如，若有一个数列 $ S = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n $，其中 $ \{a_n\} $ 是等差数列，$ \{b_n\} $ 是等比数列，则可以通过错位相减法来求出 $ S $ 的值。
二、错位相减法的步骤
1. 设原式：设所求的和为 $ S $。
2. 乘以公比：将原式两边同时乘以等比数列的公比 $ q $，得到新的表达式 $ qS $。
3. 错位相减：将 $ S $ 和 $ qS $ 相减，使得大部分项可以相互抵消。
4. 化简求解：整理剩余的项，解出 $ S $。
三、典型例题解析
例题1：
已知数列 $ S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots + nx^{n-1} $，求 $ S $ 的表达式。
解题过程：
设：
$$
S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots + nx^{n-1}
$$
两边乘以 $ x $ 得：
$$
xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \cdots + nx^n
$$
两式相减：
$$
S - xS = (1 + 2x + 3x^2 + \cdots + nx^{n-1}) - (x + 2x^2 + 3x^3 + \cdots + nx^n)
$$
右边展开后，中间的项会相互抵消，只剩首项和末项：
$$
S(1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{n-1} - nx^n
$$
右边是一个等比数列的和，即：
$$
\frac{1 - x^n}{1 - x} - nx^n
$$
因此：
$$
S = \frac{1 - x^n}{(1 - x)^2} - \frac{nx^n}{1 - x}
$$
答案：
$$
S = \frac{1 - (n+1)x^n + nx^{n+1}}{(1 - x)^2}
$$
例题2：
已知数列 $ S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n $，求 $ S $ 的值。
解题过程：
设：
$$
S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n
$$
两边乘以 2：
$$
2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \cdots + n \cdot 2^{n+1}
$$
两式相减：
$$
S - 2S = (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^n) - (1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^{n+1})
$$
右边化简后：
$$
-S = 2 + (2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n) - n \cdot 2^{n+1}
$$
等比数列求和：
$$
2 + \frac{2^2(1 - 2^{n-1})}{1 - 2} = 2 + 2^{n+1} - 4 = 2^{n+1} - 2
$$
所以：
$$
-S = 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1}
$$
整理得：
$$
S = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2
$$
答案：
$$
S = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2
$$
四、总结
错位相减法是解决“等差×等比”型数列求和问题的重要工具，掌握其原理和应用方法对于提高数学解题能力非常有帮助。通过多做练习，逐步熟悉这一方法的应用场景和技巧，将有助于我们在考试中高效应对相关题目。
> 温馨提示：实际应用时，注意公比是否为1，当公比为1时需单独处理。
