【高二数学试题及答案】在高中阶段，数学作为一门基础学科，对于学生的逻辑思维和分析能力有着重要的培养作用。高二年级的数学课程内容逐渐加深，涵盖了函数、数列、立体几何、概率统计等多个知识点。为了帮助学生更好地掌握所学内容，以下是一份高二数学试题及答案的详细解析，旨在帮助学生理解解题思路，提升应试能力。
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 已知集合 $ A = \{x | x^2 - 3x + 2 = 0\} $，则集合 $ A $ 的元素个数为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
解析： 解方程 $ x^2 - 3x + 2 = 0 $，可得 $ (x-1)(x-2) = 0 $，因此解为 $ x=1 $ 和 $ x=2 $，集合 $ A $ 中有两个元素。
2. 若 $ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $，且 $ \theta \in [0, 2\pi] $，则 $ \theta $ 的可能取值为：
A. $ \frac{\pi}{3} $
B. $ \frac{2\pi}{3} $
C. $ \frac{\pi}{6} $
D. A 和 B 都正确
答案：D
解析： 在单位圆中，$ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $ 对应的角度是 $ \frac{\pi}{3} $ 和 $ \frac{2\pi}{3} $，均在 $ [0, 2\pi] $ 范围内。
3. 已知向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (-2, 1) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = $：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
答案：A
解析： 向量点积公式为 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = 1 \times (-2) + 2 \times 1 = -2 + 2 = 0 $。
4. 设函数 $ f(x) = \log_2(x+1) $，则其定义域为：
A. $ x > -1 $
B. $ x \geq -1 $
C. $ x < -1 $
D. $ x \leq -1 $
答案：A
解析： 对数函数的定义域要求真数大于0，即 $ x + 1 > 0 $，所以 $ x > -1 $。
二、填空题（每题5分，共20分）
5. 已知等差数列 $ a_n $ 的首项为 3，公差为 2，则第 5 项为 ________。
答案：11
解析： 等差数列通项公式为 $ a_n = a_1 + (n-1)d $，代入得 $ a_5 = 3 + 4 \times 2 = 11 $。
6. 若 $ \tan \alpha = \frac{1}{2} $，则 $ \sin \alpha = $ ________。
答案： $ \frac{\sqrt{5}}{5} $ 或 $ \frac{1}{\sqrt{5}} $
解析： 构造直角三角形，邻边为 2，对边为 1，斜边为 $ \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $，故 $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} $。
7. 已知直线 $ l $ 过点 $ (1, 2) $，斜率为 -3，则其方程为 ________。
答案： $ y = -3x + 5 $
解析： 直线方程为 $ y - y_1 = k(x - x_1) $，代入得 $ y - 2 = -3(x - 1) $，化简得 $ y = -3x + 5 $。
8. 若 $ \log_3 x = 2 $，则 $ x = $ ________。
答案：9
解析： 根据对数定义，$ x = 3^2 = 9 $。
三、解答题（每题10分，共40分）
9. 求函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $ 的最小值，并求出此时的 $ x $ 值。
解：
函数为二次函数，开口向上，顶点处取得最小值。
顶点横坐标为 $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2 $。
代入得 $ f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 $。
所以最小值为 1，此时 $ x = 2 $。
10. 已知一个正四棱锥的底面为边长为 4 的正方形，侧棱长为 5，求其体积。
解：
正四棱锥的体积公式为 $ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{底}} \times h $。
底面积 $ S_{\text{底}} = 4 \times 4 = 16 $。
设高为 $ h $，由勾股定理得：
$ h = \sqrt{5^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 - 8} = \sqrt{17} $。
所以体积为 $ V = \frac{1}{3} \times 16 \times \sqrt{17} = \frac{16\sqrt{17}}{3} $。
四、附加题（10分）
11. 设 $ a > 0 $，已知 $ \log_a 2 = m $，$ \log_a 3 = n $，求 $ \log_a 6 $ 的表达式。
解：
$ \log_a 6 = \log_a (2 \times 3) = \log_a 2 + \log_a 3 = m + n $。
总结：
本套高二数学试题涵盖了函数、三角函数、向量、数列、几何等多个知识点，注重基础知识的考查与综合应用能力的提升。通过认真练习与复习，学生可以有效巩固所学知识，提高解题技巧与应试水平。
