【数学分析2试题及答案】在大学数学课程中，数学分析是基础且重要的学科之一，尤其“数学分析2”作为其后续课程，内容更加深入，涵盖了多元函数的微分与积分、级数、曲线与曲面积分等核心知识点。为了帮助学生更好地掌握这门课程，以下是一份典型的“数学分析2”试题及其参考答案，供学习和复习使用。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 函数 $ f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} $ 在点 $ (0, 0) $ 处的极限是：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 不存在
2. 下列级数中，收敛的是：
A. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $
B. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $
C. $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n $
D. $ \sum_{n=1}^{\infty} n $
3. 设 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $，则其梯度向量为：
A. $ (2x, 2y) $
B. $ (x, y) $
C. $ (2x, y) $
D. $ (x, 2y) $
4. 曲线 $ \mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t) $ 在 $ t = \pi $ 处的切向量为：
A. $ (-\sin t, \cos t, 1) $
B. $ (-\sin t, \cos t, 0) $
C. $ (\cos t, \sin t, 1) $
D. $ (\cos t, \sin t, 0) $
5. 二重积分 $ \iint_D x \, dA $，其中 $ D: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 $ 的值为：
A. 0
B. 1
C. 0.5
D. 2
二、填空题（每空3分，共15分）
1. 若 $ f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) $，则 $ f_x(1, 1) = $ __________。
2. 级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} $ 的和为 __________。
3. 设 $ \mathbf{F}(x, y, z) = (x, y, z) $，则 $ \text{div} \mathbf{F} = $ __________。
4. 曲面 $ z = x^2 + y^2 $ 在点 $ (1, 1, 2) $ 处的法向量为 __________。
5. 若 $ f(x, y) = e^{xy} $，则 $ f_{xy} = $ __________。
三、计算题（每题10分，共40分）
1. 计算二重积分：
$$
\iint_D (x + y) \, dA
$$
其中区域 $ D $ 是由 $ y = x $，$ y = 2x $ 和 $ x = 1 $ 所围成的区域。
2. 求函数 $ f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3 $ 的极值点，并判断其类型。
3. 计算曲线积分：
$$
\int_C x \, dy - y \, dx
$$
其中 $ C $ 是从点 $ (1, 0) $ 到 $ (0, 1) $ 的直线段。
4. 应用格林公式，计算曲线积分：
$$
\oint_C (x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy
$$
其中 $ C $ 是单位圆 $ x^2 + y^2 = 1 $ 的正向闭合曲线。
四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明：若函数 $ f(x, y) $ 在点 $ (a, b) $ 处可微，则它在该点处连续。
2. 证明：若级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 绝对收敛，则它也收敛。
参考答案
一、选择题
1. D
2. B
3. A
4. A
5. C
二、填空题
1. $ \ln 2 $
2. $ \ln 2 $
3. 3
4. $ (2, 2, -1) $ 或其倍数
5. $ e^{xy} $
三、计算题
1. 结果为 $ \frac{3}{2} $
2. 极值点为 $ (0, 0) $ 和 $ (1, 1) $，其中 $ (0, 0) $ 为鞍点，$ (1, 1) $ 为局部极小值点。
3. 结果为 $ 0 $
4. 结果为 $ 0 $
四、证明题
略（可根据教材或参考资料进行推导）
结语
数学分析2的内容虽然复杂，但通过系统的学习与练习，可以逐步掌握其精髓。本试题旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。希望每位学习者都能在不断实践中提升自己的数学素养。
