【二次函数yax2bxc的图像和性质教案】一、教学目标：

1. 知识与技能：

- 理解二次函数的一般形式 y = ax² + bx + c 的含义。

- 掌握二次函数的图像是抛物线，了解其基本特征。

- 能够根据解析式判断开口方向、顶点坐标、对称轴及与坐标轴的交点。

2. 过程与方法：

- 通过图像分析和代数推导相结合的方式，提升学生的数学抽象能力和逻辑思维能力。

- 培养学生利用图像解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：

- 激发学生对二次函数的兴趣，体会数学在现实生活中的应用价值。

- 培养学生严谨的学习态度和合作探究的精神。

二、教学重点与难点：

- 重点：

二次函数图像的基本特征（开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴的交点）。

- 难点：

顶点坐标的求法及其几何意义的理解；结合图像分析函数的增减性。

三、教学准备：

- 多媒体课件（含图像演示）

- 课堂练习题

- 学生用纸和笔

四、教学过程：

（一）导入新课（5分钟）

教师提问：

“我们之前学习了一次函数的图像是一条直线，那么二次函数的图像会是什么形状呢？它有什么特点？”

引导学生回忆一次函数图像的特征，并引出本节课的主题——二次函数的图像和性质。

（二）新课讲授（20分钟）

1. 二次函数的一般形式：

二次函数的标准形式为：

y = ax² + bx + c

其中 a ≠ 0。

- a 决定开口方向：

- 当 a > 0 时，抛物线开口向上；

- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 对称轴与顶点：

- 抛物线的对称轴为直线 x = -b/(2a)。

- 顶点坐标为：

(-b/(2a), f(-b/(2a)))

其中 f(x) = ax² + bx + c。

3. 与坐标轴的交点：

- 与 y 轴交点：

当 x = 0 时，y = c，所以交点为 (0, c)。

- 与 x 轴交点（即根）：

解方程 ax² + bx + c = 0，判别式 Δ = b² - 4ac。

- 若 Δ > 0，有两个不同的实数根；

- 若 Δ = 0，有一个实数根（重根）；

- 若 Δ < 0，无实数根。

4. 图像特征总结：

| 特征 | 说明 |

|------|------|

| 开口方向 | 由 a 的正负决定 |

| 对称轴 | x = -b/(2a) |

| 顶点 | (-b/(2a), f(-b/(2a))) |

| 与 y 轴交点 | (0, c) |

| 与 x 轴交点 | 根据判别式判断 |

（三）例题讲解（10分钟）

例题1：

已知二次函数 y = 2x² - 4x + 1，求其对称轴、顶点坐标，并画出大致图像。

解答步骤：

- 对称轴：x = -(-4)/(2×2) = 1

- 顶点：代入 x=1，得 y = 2(1)² -4(1) +1 = -1

- 所以顶点为 (1, -1)

图像分析：

由于 a = 2 > 0，开口向上，顶点在 (1, -1)，与 y 轴交于 (0, 1)。

（四）课堂练习（10分钟）

练习题：

1. 已知函数 y = -x² + 2x + 3，求其对称轴、顶点坐标，并判断开口方向。

2. 判断函数 y = 3x² - 6x + 2 与 x 轴的交点个数。

教师巡视指导，个别辅导。

（五）小结与作业（5分钟）

小结：

- 二次函数的图像为抛物线，具有对称性。

- 通过对称轴和顶点的计算，可以掌握其基本特征。

- 判别式能帮助我们判断函数与 x 轴的交点情况。

作业：

1. 完成课本 P58 第 3、5 题。

2. 自选一个二次函数，写出它的对称轴、顶点、与坐标轴的交点，并绘制图像。

五、板书设计：

```

二次函数 y = ax² + bx + c 的图像和性质

1. 一般形式：y = ax² + bx + c（a ≠ 0）

2. 开口方向：

- a > 0 → 向上

- a < 0 → 向下

3. 对称轴：x = -b/(2a)

4. 顶点坐标：(-b/(2a), f(-b/(2a)))

5. 与 y 轴交点：(0, c)

6. 与 x 轴交点：由判别式 Δ = b² - 4ac 判断

```

六、教学反思（课后填写）：

本节课通过理论讲解与实例分析相结合，帮助学生掌握了二次函数的基本图像和性质。部分学生在顶点计算上存在困难，需加强练习。后续可结合实际问题进行拓展教学，增强学生应用意识。