【线性代数自考必背公式】在自考中，线性代数是数学类专业的重要基础课程之一，掌握核心公式和定理对于顺利通过考试至关重要。以下内容是对线性代数中常见且重要的公式进行系统总结，帮助考生高效复习、精准记忆。
一、基本概念与公式
| 概念 | 公式 | 说明 | ||
| 行列式 | $ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} $ | 二阶行列式的计算方式 | ||
| 矩阵加法 | $ A + B = [a_{ij} + b_{ij}] $ | 对应元素相加 | ||
| 矩阵乘法 | $ C = AB $, 其中 $ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} $ | 矩阵乘法的定义 | ||
| 转置矩阵 | $ A^T $ | 行列互换 | ||
| 伴随矩阵 | $ A^ $ | 每个元素为对应的代数余子式 | ||
| 逆矩阵 | $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^ $ | 当 $ \det(A) \neq 0 $ 时存在 | ||
| 向量内积 | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n $ | 向量之间的点积 | ||
| 向量模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} $ | 向量长度的计算 |
二、矩阵运算相关公式
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 矩阵的秩 | $ r(A) $ | 矩阵中非零子式的最高阶数 |
| 特征值与特征向量 | $ Ax = \lambda x $ | 满足该式的 $ \lambda $ 称为特征值，$ x $ 为对应特征向量 |
| 特征方程 | $ \det(A - \lambda I) = 0 $ | 求解特征值的方程 |
| 矩阵的迹 | $ \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} $ | 矩阵对角线元素之和 |
| 正交矩阵 | $ A^T A = I $ | 满足该条件的矩阵称为正交矩阵 |
| 矩阵的行列式性质 | $ \det(AB) = \det(A)\det(B) $ | 行列式乘法性质 |
三、向量空间与线性方程组
| 概念 | 公式/定理 | 说明 | |
| 线性组合 | $ \alpha = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_n\alpha_n $ | 向量由其他向量的线性组合表示 | |
| 线性相关 | 若存在不全为零的系数使得 $ k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n = 0 $，则线性相关 | ||
| 基与维数 | 一组向量能张成整个空间且线性无关，则为基，其数量为维数 | ||
| 齐次方程组 | $ Ax = 0 $ | 解集构成一个向量空间 | |
| 非齐次方程组 | $ Ax = b $ | 若有解，解集为特解加上齐次通解 | |
| 矩阵的秩与解的关系 | $ r(A) = r(A | b) $ 时有解 | 判断方程组是否有解的标准 |
四、特殊矩阵与变换
| 矩阵类型 | 公式/性质 | 说明 |
| 对角矩阵 | $ D = \text{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n) $ | 只有对角线上有非零元素 |
| 上三角矩阵 | $ U $ | 主对角线以下全为零 |
| 下三角矩阵 | $ L $ | 主对角线以上全为零 |
| 对称矩阵 | $ A = A^T $ | 矩阵与其转置相等 |
| 正定矩阵 | $ x^T A x > 0 $ 对所有非零向量 $ x $ | 正定矩阵的特征值均为正 |
五、特征值与特征向量相关公式
| 内容 | 公式 | 说明 |
| 特征多项式 | $ f(\lambda) = \det(A - \lambda I) $ | 求特征值的表达式 |
| 特征值的和 | $ \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \text{tr}(A) $ | 特征值之和等于矩阵的迹 |
| 特征值的积 | $ \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = \det(A) $ | 特征值之积等于矩阵的行列式 |
| 相似矩阵 | $ B = P^{-1}AP $ | 两个矩阵相似意味着它们有相同的特征值 |
总结
线性代数虽然内容繁多，但关键在于理解基本概念和熟练掌握常用公式。通过系统整理和反复练习，可以显著提高解题效率和考试成绩。建议考生在复习过程中注重公式的推导过程，理解其实际意义，从而达到灵活运用的目的。
希望这份“线性代数自考必背公式”能够帮助你更好地备考，顺利通过考试！
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