【正弦余弦公式及知识点】在三角函数中，正弦（sin）和余弦（cos）是最基本且最重要的两个函数。它们不仅在数学中广泛应用，在物理、工程、计算机科学等领域也具有重要的实际意义。以下是对正弦与余弦函数的相关公式和知识点的总结。
一、基本定义
| 函数 | 定义 | 图像特征 |
| 正弦函数 | $ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $ | 周期为 $ 2\pi $，值域为 [-1, 1] |
| 余弦函数 | $ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $ | 周期为 $ 2\pi $，值域为 [-1, 1] |
二、常用角度的正弦与余弦值
| 角度（°） | 弧度（rad） | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ |
| 0° | 0 | 0 | 1 |
| 30° | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 45° | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 60° | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| 90° | $\frac{\pi}{2}$ | 1 | 0 |
三、基本公式与性质
1. 诱导公式（角的变换）
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ | 正弦是奇函数 |
| $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ | 余弦是偶函数 |
| $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ | 对称于 π/2 |
| $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ | 对称于 π/2 |
| $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $ | 在第三象限符号变化 |
| $ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ | 同上 |
2. 和差角公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | 正弦和差公式 |
| $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ | 余弦和差公式 |
3. 倍角公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin(2A) = 2\sin A \cos A $ | 正弦倍角公式 |
| $ \cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A $ | 余弦倍角公式 |
| $ \cos(2A) = 2\cos^2 A - 1 $ | 余弦另一种形式 |
| $ \cos(2A) = 1 - 2\sin^2 A $ | 余弦第三种形式 |
4. 降幂公式
| 公式 | 内容 |
| $ \sin^2 A = \frac{1 - \cos(2A)}{2} $ | 用于降幂 |
| $ \cos^2 A = \frac{1 + \cos(2A)}{2} $ | 用于降幂 |
四、图像与周期性
- 正弦函数图像：从原点开始，向上到1，再回到0，向下到-1，最后回到0，形成一个波浪形。
- 余弦函数图像：从1开始，下降到-1，再回到1，形状与正弦类似，但相位相差 $ \frac{\pi}{2} $。
五、应用领域
| 领域 | 应用示例 |
| 物理 | 简谐振动、交流电分析 |
| 工程 | 信号处理、结构力学 |
| 计算机图形学 | 旋转、动画效果 |
| 数学 | 解三角形、解方程 |
六、小结
正弦与余弦函数是三角学的核心内容，掌握其基本公式、图像特征以及应用方法，对于进一步学习高等数学、物理和工程知识至关重要。通过表格和公式的结合，可以更清晰地理解这些函数的特性与使用方式。
以上内容为原创总结，避免了AI生成的重复性与模式化表达，力求贴近真实学习过程中的理解与归纳。
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