【arctanx是单调递增的证明】一、说明
在数学中，函数的单调性是研究其变化趋势的重要性质。对于反三角函数 $ y = \arctan x $，我们可以通过求导的方法来判断其是否为单调递增函数。
首先，$ \arctan x $ 的定义域为全体实数 $ (-\infty, +\infty) $，值域为 $ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $。该函数是连续且可导的。
通过求导，我们可以得到：
$$
\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
由于分母 $ 1 + x^2 > 0 $ 对所有实数 $ x $ 都成立，因此导数 $ \frac{1}{1 + x^2} > 0 $，说明 $ \arctan x $ 在整个定义域上是严格单调递增的。
此外，从图像上看，$ \arctan x $ 的曲线始终向上倾斜，也进一步验证了其单调递增的特性。
二、表格展示
| 项目 | 内容 |
| 函数名称 | $ \arctan x $ |
| 定义域 | $ (-\infty, +\infty) $ |
| 值域 | $ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $ |
| 导数表达式 | $ \frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
| 导数符号 | 恒为正（$ \frac{1}{1 + x^2} > 0 $） |
| 单调性结论 | 严格单调递增 |
| 图像特征 | 曲线始终向上倾斜，无下降或平缓部分 |
| 数学依据 | 由导数恒为正得出单调性 |
三、总结
综上所述，通过求导分析和图像观察，可以明确地证明 $ \arctan x $ 是一个在全体实数范围内严格单调递增的函数。这一结论在数学分析、工程计算等领域具有广泛的应用价值。
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