【向量积坐标公式】在三维几何与线性代数中，向量积（又称叉积）是一个重要的运算，常用于计算两个向量之间的垂直方向、面积或体积等。向量积的结果是一个向量，其方向由右手定则确定，大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。

向量积的坐标公式是基于两个向量的坐标分量来计算的，下面将对这一公式进行总结，并以表格形式展示关键内容。

一、向量积的基本概念

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，结果为一个新的向量 c = (c₁, c₂, c₃)，满足以下性质：

- 方向：垂直于 a 和 b 所在的平面；

- 大小：a × b = absinθ（θ 为两向量夹角）；

- 方向规则：遵循右手定则。

二、向量积的坐标公式

向量积的坐标公式可以通过行列式展开得到：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

按第一行展开后，得到：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

因此，向量积的坐标形式为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\left( a_2b_3 - a_3b_2,\quad a_3b_1 - a_1b_3,\quad a_1b_2 - a_2b_1 \right)

$$

三、向量积坐标公式总结表

四、注意事项

- 向量积仅适用于三维空间中的向量；

- 向量积不满足交换律，即 a × b ≠ b × a；

- 若两向量共线，则它们的向量积为零向量；

- 向量积的结果向量与原向量都垂直。

通过掌握向量积的坐标公式，可以更方便地进行三维几何问题的求解，尤其在物理、工程和计算机图形学等领域具有广泛应用。

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