【高中常用十个泰勒展开公式】在高中数学中，虽然泰勒展开并不是课程的必修内容，但在一些拓展学习或竞赛辅导中，它仍然是一个重要的工具。泰勒展开可以帮助我们近似计算函数值、分析函数性质以及解决一些复杂的数学问题。以下是高中阶段较为常见且实用的十个泰勒展开公式，便于记忆和应用。
一、泰勒展开简介
泰勒展开是一种将一个可导函数表示为无穷级数的方法，通常以某一点为中心展开。形式如下：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots
$$
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林展开。
二、高中常用十个泰勒展开公式（以 $ x=0 $ 为中心）
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（麦克劳林展开） |
| 1 | $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ |
| 2 | $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ |
| 3 | $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ |
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $ |
| 5 | $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $ |
| 6 | $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{3}{8} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ |
| 7 | $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots $ |
| 8 | $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ |
| 9 | $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ |
| 10 | $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots $ |
三、总结说明
以上十种泰勒展开公式是高中阶段较为常见的函数展开形式，尤其适用于理解函数的局部行为、进行近似计算或作为解题辅助工具。虽然泰勒展开本身属于大学数学内容，但在高中阶段掌握这些基础公式有助于提升对函数图像、极限和微分的理解。
需要注意的是，这些展开式一般在 $ x $ 接近 0 时效果最佳，且收敛范围因函数而异。例如 $ \ln(1+x) $ 的展开只在 $ -1 < x \leq 1 $ 内有效。
通过熟悉这些展开式，高中生可以在遇到复杂函数问题时，灵活运用近似方法，提高解题效率与准确性。
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