【高等数学基本公式】高等数学是大学理工科学生必修的一门基础课程，涵盖了微积分、线性代数、多元函数、级数等重要内容。掌握其中的基本公式对于理解和应用数学知识具有重要意义。本文将对高等数学中常用的基本公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、微分学基本公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 基本导数 | $ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数 |
| 指数函数导数 | $ \frac{d}{dx}e^x = e^x $ | 自然指数函数的导数 |
| 对数函数导数 | $ \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| 三角函数导数 | $ \frac{d}{dx}\sin x = \cos x $ $ \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x $ | 正弦与余弦的导数 |
| 反三角函数导数 | $ \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ $ \frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ | 反正弦与反余弦的导数 |
二、积分学基本公式
| 积分类型 | 公式表达 | 说明 | ||
| 基本积分 | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | 幂函数的不定积分 | ||
| 指数函数积分 | $ \int e^x dx = e^x + C $ | 自然指数函数的积分 | ||
| 对数函数积分 | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ | 常见对数积分 |
| 三角函数积分 | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | 正弦与余弦的积分 | ||
| 反三角函数积分 | $ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C $ | 反正切函数的积分 |
三、极限与连续性相关公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 极限定义 | $ \lim_{x \to a} f(x) = L $ | 函数在某点的极限 |
| 连续性定义 | 若 $ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $，则 $ f(x) $ 在 $ x=a $ 处连续 | 连续性的判定标准 |
| 等价无穷小 | 当 $ x \to 0 $ 时： $ \sin x \sim x $ $ \tan x \sim x $ $ \ln(1+x) \sim x $ | 常用等价无穷小替换 |
四、泰勒展开与麦克劳林公式
| 展开类型 | 公式表达 | 说明 |
| 麦克劳林展开（$ x=0 $） | $ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | 自然指数函数的展开 |
| $ \sin x $ 展开 | $ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | 正弦函数的泰勒展开 |
| $ \cos x $ 展开 | $ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | 余弦函数的泰勒展开 |
五、向量与空间解析几何公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||||
| 向量点积 | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta $ | 向量之间的点积 | |
| 向量叉积 | $ \vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n} $ | 向量之间的叉积 | |
| 平面方程 | $ Ax + By + Cz + D = 0 $ | 一般平面方程 | ||||
| 直线方程 | $ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} $ | 参数形式直线方程 |
六、多元函数与偏导数
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 偏导数 | $ \frac{\partial f}{\partial x} $ | 函数关于某一变量的偏导数 |
| 全微分 | $ df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy $ | 二元函数的全微分 |
| 方向导数 | $ D_{\vec{u}}f = \nabla f \cdot \vec{u} $ | 函数沿方向 $ \vec{u} $ 的方向导数 |
总结
高等数学中的基本公式是学习和应用数学的重要工具。通过系统地整理和归纳这些公式，可以提高学习效率，增强解题能力。建议结合具体例题反复练习，加深对公式的理解与运用。希望本文能为你的学习提供帮助。
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