【stolz公式详解】在数学分析中，尤其是数列极限的计算中，Stolz公式（也称作Stolz–Cesàro定理）是一个非常有用的工具。它类似于微积分中的洛必达法则，用于处理0/0型或∞/∞型的不定式极限问题。该公式适用于当分子和分母都趋于0或无穷大时，求其比值的极限。
一、Stolz公式的定义
设 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 是两个数列，且满足以下条件：
1. $b_n$ 单调递增且趋于正无穷；
2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ 或 $\lim_{n \to \infty} b_n = +\infty$；
3. $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L$ 存在。
则有：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L
$$
这个公式特别适用于处理一些难以直接求极限的数列比值问题。
二、适用类型总结
| 极限形式 | Stolz公式是否适用 | 说明 |
| $\frac{0}{0}$ | ✅ | 当 $a_n \to 0$ 且 $b_n \to 0$，且 $b_n$ 单调递减 |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | ✅ | 当 $a_n \to \infty$ 且 $b_n \to \infty$，且 $b_n$ 单调递增 |
| $\frac{c}{0}$ | ❌ | 不属于不定式，无需使用 |
| $\frac{0}{\infty}$ | ❌ | 直接为0，无需使用 |
三、使用步骤
1. 确认极限形式：判断是 $\frac{0}{0}$ 还是 $\frac{\infty}{\infty}$；
2. 检查条件：确保 $b_n$ 单调且趋于正无穷；
3. 构造差分比值：计算 $\frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}$；
4. 求极限：如果该差分比值的极限存在，则原极限等于该值；
5. 得出结论：得到原数列比值的极限。
四、示例解析
例1：求 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n}$
- 显然是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型；
- 令 $a_n = n^2$, $b_n = 2^n$；
- 计算差分比值：
$$
\frac{(n+1)^2 - n^2}{2^{n+1} - 2^n} = \frac{2n + 1}{2^n}
$$
- 再次应用Stolz公式，最终可得极限为0。
例2：求 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{n}$
- 令 $a_n = \sqrt[n]{n}$, $b_n = n$；
- 由于 $a_n \to 1$，$b_n \to \infty$，属于 $\frac{1}{\infty}$，可以直接得出极限为0。
五、注意事项
- Stolz公式只适用于特定类型的极限，不能随意套用；
- 如果差分比值的极限不存在，可能需要换其他方法；
- 在实际应用中，需注意序列的单调性和极限行为。
六、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 名称 | Stolz公式 / Stolz–Cesàro定理 |
| 用途 | 解决数列比值的极限问题，尤其是0/0或∞/∞型 |
| 适用类型 | $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ |
| 条件 | $b_n$ 单调且趋于无穷；差分比值极限存在 |
| 使用步骤 | 判断类型 → 检查条件 → 构造差分比值 → 求极限 → 得出结论 |
| 示例 | $\frac{n^2}{2^n}$, $\frac{\sqrt[n]{n}}{n}$ 等 |
| 注意事项 | 仅适用于特定情况，不可滥用 |
通过合理运用Stolz公式，可以更高效地解决一些复杂的数列极限问题，尤其在考试或研究中具有重要价值。
