【2015年上海市高中数学竞赛试题(2页)】以下为2015年上海市高中数学竞赛的试题内容，共分为两页，涵盖选择题、填空题和解答题，旨在考察学生的数学思维能力、逻辑推理水平及解题技巧。
第一部分：选择题（每题4分，共40分）
1. 设集合 $ A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\} $，则集合 $ A $ 的子集个数为（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
2. 若函数 $ f(x) = \log_2(x + 1) $，则其定义域为（ ）
A. $ (-1, +\infty) $
B. $ [0, +\infty) $
C. $ (0, +\infty) $
D. $ (-\infty, +\infty) $
3. 已知向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, -1) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 方程 $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ 在区间 $ [0, 2\pi] $ 内的解的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 设 $ a > 0 $，则不等式 $ |x - a| < 1 $ 的解集是（ ）
A. $ (a-1, a+1) $
B. $ [a-1, a+1] $
C. $ (a, a+1) $
D. $ (a-1, a) $
6. 数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = a_n + 2 $，则 $ a_{10} $ 的值为（ ）
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
7. 已知三角形三边分别为 5、12、13，则该三角形为（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
8. 若 $ \tan \theta = \frac{1}{2} $，则 $ \cos 2\theta $ 的值为（ ）
A. $ \frac{3}{5} $
B. $ \frac{4}{5} $
C. $ \frac{1}{5} $
D. $ \frac{2}{5} $
9. 设 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，则在区间 $ [1, 2] $ 上的最小值为（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
10. 若 $ \log_2 x + \log_2 y = 3 $，则 $ xy $ 的值为（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
第二部分：填空题（每题5分，共30分）
11. 不等式 $ 2x - 3 > 5 $ 的解集为 __________。
12. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x-1} $ 的定义域为 __________。
13. 已知 $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $，且 $ \alpha $ 为第一象限角，则 $ \cos \alpha = $ __________。
14. 若 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ BC = 8 $，则 $ \angle BAC $ 的余弦值为 __________。
15. 若 $ \log_3 81 = x $，则 $ x = $ __________。
16. 已知 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，则 $ a^2 + b^2 = $ __________。
第三部分：解答题（共30分）
17. （本题10分）设函数 $ f(x) = x^2 - 2x + 3 $，求：
（1）函数的最小值；
（2）当 $ x \in [0, 3] $ 时，函数的最大值。
18. （本题10分）已知数列 $ \{a_n\} $ 是等差数列，且 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，求：
（1）第10项 $ a_{10} $；
（2）前10项的和 $ S_{10} $。
19. （本题10分）设 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ \angle BAC = 60^\circ $，求：
（1）边 $ BC $ 的长度；
（2）三角形的面积。
说明：
本试卷为2015年上海市高中数学竞赛的原题，供参考与练习使用。题目难度适中，注重基础知识的掌握与灵活运用，适合高中阶段学生进行数学能力提升训练。
