在学习量子力学这门深奥而又迷人的学科时，课后练习题是检验我们对知识理解程度的重要环节。《量子力学》由苏汝铿教授所著，是一本广受好评的经典教材，书中不仅涵盖了量子力学的基本理论，还提供了丰富的习题供学生巩固所学知识。

为了帮助大家更好地掌握量子力学的核心概念，以下是对部分课后练习题的详细解答：

习题一：波函数归一化

问题描述：给定一个波函数ψ(x) = Ae^(-ax^2)，其中A和a为常数，求解归一化的系数A，使得积分|ψ(x)|^2dx = 1。

解答过程：

根据归一化条件，我们需要计算：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} |Ae^{-ax^2}|^2 dx = 1 \]

展开后得到：

\[ A^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2ax^2} dx = 1 \]

利用高斯积分公式：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-bx^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{b}} \]

代入可得：

\[ A^2 \sqrt{\frac{\pi}{2a}} = 1 \]

解得：

\[ A = \left( \frac{2a}{\pi} \right)^{1/4} \]

因此，归一化的波函数为：

\[ \psi(x) = \left( \frac{2a}{\pi} \right)^{1/4} e^{-ax^2} \]

习题二：能量本征值计算

问题描述：对于一个粒子在无限深势阱中的运动，其势能V(x)定义如下：

\[ V(x) = \begin{cases}

0 & 0 < x < L \\

\infty & \text{其他区域}

\end{cases} \]

求解该粒子的能量本征值。

解答过程：

在无限深势阱中，粒子的波函数满足薛定谔方程：

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \]

由于V(x)在势阱内为零，方程简化为：

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]

令k^2 = 2mE/ħ^2，则方程变为：

\[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + k^2\psi(x) = 0 \]

通解为：

\[ \psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx) \]

考虑到边界条件ψ(0) = 0和ψ(L) = 0，可以确定：

\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \]

对应的能量本征值为：

\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}, \quad n = 1, 2, 3, ... \]

通过以上两个习题的解答，我们可以看到量子力学中的数学推导既严谨又富有挑战性。希望这些解答能够帮助大家更深入地理解量子力学的基本原理，并在实践中灵活运用。继续探索更多有趣的量子现象吧！