在数学学习中，工程问题是常见的一类题目，它涉及到工作量、工作效率和工作时间之间的关系。这类题目不仅能够帮助学生理解基本的数量关系，还能培养逻辑思维能力。接下来，我们通过几个具体的例子来练习和巩固这一知识点。
例题1：合作完成任务
甲单独完成一项工程需要6天，乙单独完成这项工程需要8天。如果两人合作，那么他们需要多少天才能完成这项工程？
解析：
首先，我们需要知道甲和乙的工作效率。甲每天完成工程的$\frac{1}{6}$，乙每天完成工程的$\frac{1}{8}$。当他们合作时，每天可以完成的工程量为两者的和，即：
$$
\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{7}{24}
$$
因此，两人合作完成整个工程所需的时间为：
$$
\text{时间} = \frac{\text{总工程量}}{\text{每日完成量}} = \frac{1}{\frac{7}{24}} = \frac{24}{7} \approx 3.43 \text{天}
$$
例题2：轮班施工
某工程由A组和B组轮流施工，A组每天能完成工程的$\frac{1}{10}$，B组每天能完成工程的$\frac{1}{15}$。如果A组先施工一天，然后B组接着施工一天，如此交替进行，问多少天后工程可以完成？
解析：
A组和B组每天共同完成的工程量为：
$$
\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}
$$
这意味着每两天（A组和B组各施工一天）可以完成$\frac{1}{6}$的工程量。为了完成整个工程，需要：
$$
\text{周期数} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 \text{个周期}
$$
每个周期是2天，因此总共需要：
$$
6 \times 2 = 12 \text{天}
$$
练习题
1. 某工程由甲、乙两人合作完成，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要15天。若两人合作，需要多少天才能完成？
2. 某项工程由A组和B组轮流施工，A组每天完成$\frac{1}{8}$，B组每天完成$\frac{1}{12}$。如果A组先施工一天，然后B组接着施工一天，如此交替进行，问多少天后工程可以完成？
通过这些练习题，我们可以更好地掌握工程问题的应用方法。希望同学们在练习中不断进步！
