在数学学习中，二元一次方程组是一个重要的知识点，它不仅是代数学习的基础，也是解决实际问题的重要工具。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，下面将通过一系列精选题目进行专项练习，并附上详细的解答过程。
一、基础题型
题目1：
解方程组：
\[
\begin{cases}
x + y = 5 \\
2x - y = 1
\end{cases}
\]
解答：
由第一个方程可得 \(y = 5 - x\)，将其代入第二个方程得：
\[
2x - (5 - x) = 1 \implies 2x - 5 + x = 1 \implies 3x = 6 \implies x = 2
\]
将 \(x = 2\) 代入 \(y = 5 - x\) 得 \(y = 3\)。
因此，解为 \((x, y) = (2, 3)\)。
题目2：
解方程组：
\[
\begin{cases}
3x + 4y = 10 \\
x - 2y = 1
\end{cases}
\]
解答：
从第二个方程可得 \(x = 1 + 2y\)，将其代入第一个方程得：
\[
3(1 + 2y) + 4y = 10 \implies 3 + 6y + 4y = 10 \implies 10y = 7 \implies y = \frac{7}{10}
\]
将 \(y = \frac{7}{10}\) 代入 \(x = 1 + 2y\) 得 \(x = 1 + 2 \times \frac{7}{10} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}\)。
因此，解为 \((x, y) = (\frac{12}{5}, \frac{7}{10})\)。
二、综合题型
题目3：
解方程组：
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 8 \\
5x - 4y = 2
\end{cases}
\]
解答：
采用加减消元法。首先将两方程分别乘以适当的系数使得 \(y\) 的系数相等：
\[
\begin{cases}
4(2x + 3y) = 4 \times 8 \\
3(5x - 4y) = 3 \times 2
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
8x + 12y = 32 \\
15x - 12y = 6
\end{cases}
\]
将两式相加得：
\[
(8x + 12y) + (15x - 12y) = 32 + 6 \implies 23x = 38 \implies x = \frac{38}{23}
\]
将 \(x = \frac{38}{23}\) 代入第一个原方程 \(2x + 3y = 8\) 得：
\[
2 \times \frac{38}{23} + 3y = 8 \implies \frac{76}{23} + 3y = 8 \implies 3y = 8 - \frac{76}{23} = \frac{184}{23} - \frac{76}{23} = \frac{108}{23} \implies y = \frac{36}{23}
\]
因此，解为 \((x, y) = (\frac{38}{23}, \frac{36}{23})\)。
三、应用题型
题目4：
某商店销售两种商品A和B，已知购买3件A和2件B共花费180元，购买2件A和3件B共花费170元。求每件商品A和B的价格。
解答：
设商品A的价格为 \(x\) 元，商品B的价格为 \(y\) 元，则根据题意可列方程组：
\[
\begin{cases}
3x + 2y = 180 \\
2x + 3y = 170
\end{cases}
\]
采用加减消元法。将两方程分别乘以适当的系数使得 \(x\) 的系数相等：
\[
\begin{cases}
2(3x + 2y) = 2 \times 180 \\
3(2x + 3y) = 3 \times 170
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
6x + 4y = 360 \\
6x + 9y = 510
\end{cases}
\]
将两式相减得：
\[
(6x + 9y) - (6x + 4y) = 510 - 360 \implies 5y = 150 \implies y = 30
\]
将 \(y = 30\) 代入第一个原方程 \(3x + 2y = 180\) 得：
\[
3x + 2 \times 30 = 180 \implies 3x + 60 = 180 \implies 3x = 120 \implies x = 40
\]
因此，商品A的价格为40元，商品B的价格为30元。
通过以上练习，希望大家对二元一次方程组的解法有更深入的理解。在实际应用中，灵活选择解法是关键，同时要注意计算的准确性。继续努力，加油！
