【数学期望方差的计算公式】在概率论和统计学中，数学期望和方差是描述随机变量分布特性的两个重要指标。数学期望反映了随机变量的平均值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对这两个概念及其计算公式的总结。
一、数学期望（Expected Value）
数学期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为各个取值出现的概率。
1. 离散型随机变量的数学期望
设离散型随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则其数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则其数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差是衡量随机变量与其数学期望之间差异的指标，表示数据的波动性或分散程度。
1. 方差的定义
对于任意随机变量 $ X $，其方差定义为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以展开为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
或等价地：
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - [E(X)]^2
$$
3. 连续型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
$$
或等价地：
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx - [E(X)]^2
$$
三、常见分布的期望与方差表
| 分布名称 | 数学期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 $ B(n,p) $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结
数学期望和方差是统计分析中的基础工具，广泛应用于金融、工程、科学等多个领域。通过理解它们的定义和计算方法，可以更准确地描述随机现象的特征，并为决策提供依据。掌握不同分布的期望与方差有助于在实际问题中快速进行数据分析与建模。
以上就是【数学期望方差的计算公式】相关内容，希望对您有所帮助。
