【定比分点公式及推导】在解析几何中，定比分点是一个重要的概念，常用于确定线段上某一点相对于两个端点的位置关系。定比分点公式可以用来求解已知两点坐标和分比的情况下，该点的坐标。以下是对定比分点公式的总结与推导过程。
一、定比分点定义
设点 $ P $ 在直线段 $ AB $ 上，并且满足向量关系：
$$
\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}
$$
其中 $ \lambda $ 是一个实数，称为分比。根据这个比例关系，点 $ P $ 被称为点 $ A $ 和 $ B $ 的定比分点。
二、定比分点公式的推导
设点 $ A(x_1, y_1) $，点 $ B(x_2, y_2) $，点 $ P(x, y) $ 是线段 $ AB $ 上的一点，且满足：
$$
\frac{AP}{PB} = \lambda
$$
即：
$$
\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}
$$
将向量表示为坐标形式：
$$
(x - x_1, y - y_1) = \lambda (x_2 - x, y_2 - y)
$$
分别对横纵坐标进行整理：
$$
x - x_1 = \lambda (x_2 - x) \\
y - y_1 = \lambda (y_2 - y)
$$
解这两个方程可得：
$$
x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda} \\
y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}
$$
因此，点 $ P $ 的坐标为：
$$
P\left( \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} \right)
$$
三、定比分点公式总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上，且满足 $ \frac{AP}{PB} = \lambda $，称为定比分点 |
| 公式 | 若 $ A(x_1, y_1) $，$ B(x_2, y_2) $，则 $ P $ 坐标为：$ \left( \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} \right) $ |
| 分比 $ \lambda $ | 表示 $ AP : PB $ 的比例，正负表示方向 |
| 应用 | 求线段上的点、中点（当 $ \lambda = 1 $）、内分点或外分点等 |
四、特殊情况说明
- 当 $ \lambda = 1 $ 时，点 $ P $ 为线段 $ AB $ 的中点，公式简化为：
$$
P\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
$$
- 当 $ \lambda > 0 $ 时，点 $ P $ 在线段 $ AB $ 内部，称为内分点；
- 当 $ \lambda < 0 $ 时，点 $ P $ 在线段 $ AB $ 的延长线上，称为外分点。
五、小结
定比分点公式是解析几何中的基本工具之一，通过分比 $ \lambda $ 可以精确地描述点在线段上的位置。掌握其推导过程有助于理解几何问题中的比例关系，也便于解决实际应用中的坐标计算问题。
