【x的平方sinx积分公式】在微积分的学习过程中，不定积分是一个重要的内容。其中，像“x²乘以sinx”的积分，是常见的类型之一，虽然它不是基本函数的直接积分形式，但可以通过分部积分法来求解。本文将总结“x的平方sinx积分公式”，并以表格形式展示其推导过程和结果。
一、积分公式总结
对于函数 $ f(x) = x^2 \sin x $，其不定积分公式为：
$$
\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
该公式可通过两次分部积分法得到，下面我们将详细展示推导过程，并用表格形式进行整理。
二、推导过程（表格形式）
| 步骤 | 积分表达式 | 使用方法 | 结果 |
| 1 | $\int x^2 \sin x \, dx$ | 分部积分法：设 $ u = x^2 $, $ dv = \sin x \, dx $ | $ du = 2x \, dx $, $ v = -\cos x $ |
| 2 | $= -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$ | 分部积分法 | $= -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx $ |
| 3 | $\int x \cos x \, dx$ | 再次分部积分：设 $ u = x $, $ dv = \cos x \, dx $ | $ du = dx $, $ v = \sin x $ |
| 4 | $= x \sin x - \int \sin x \, dx$ | 基本积分 | $= x \sin x + \cos x $ |
| 5 | 回代原式 | 代入上一步结果 | $= -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) $ |
| 6 | 整理结果 | 合并同类项 | $= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C $ |
三、结论
通过两次应用分部积分法，我们成功地得到了 $ \int x^2 \sin x \, dx $ 的表达式。这个过程不仅展示了如何处理含有多项式与三角函数乘积的积分问题，也体现了分部积分法在复杂积分中的重要性。
四、注意事项
- 在实际应用中，应根据题目要求选择是否保留积分常数 $ C $。
- 若为定积分，则需根据上下限计算具体数值。
- 对于类似的函数如 $ x^n \sin x $ 或 $ x^n \cos x $，也可以采用类似的方法进行积分。
总结：
“x的平方sinx积分公式”是通过分部积分法逐步求得的结果，掌握这一方法有助于解决更多类似的高阶积分问题。
