【50道难难的数学题】在数学学习的过程中，挑战性题目往往是提升思维能力的重要途径。以下整理了50道难度较高的数学题，涵盖代数、几何、数论、组合数学等多个领域，适合有一定数学基础的学生或爱好者进行练习与思考。
一、题目总结（部分示例）
| 题号 | 题目描述 | 类型 |
| 1 | 已知 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，求 $ a^2 + b^2 $ 的值 | 代数 |
| 2 | 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $ 的极值点 | 微积分 |
| 3 | 在三角形 ABC 中，已知角 A = 60°，边 BC = 4，AB = 3，求 AC 的长度 | 几何 |
| 4 | 解方程 $ \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = 2 $ | 方程 |
| 5 | 设 $ a_n = n^2 + 2n $，求前 10 项和 | 数列 |
| ... | ... | ... |
| 50 | 证明：对于任意正整数 $ n $，$ n^3 - n $ 能被 6 整除 | 数论 |
二、答案汇总（部分展示）
| 题号 | 答案 |
| 1 | $ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25 - 12 = 13 $ |
| 2 | 极值点为 $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $，极大值为 $ f(-1) = 3 $，极小值为 $ f(1) = -1 $ |
| 3 | 使用余弦定理，得 $ AC = \sqrt{3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{13} $ |
| 4 | 解得 $ x = 1 $ |
| 5 | 前 10 项和为 $ \sum_{n=1}^{10} (n^2 + 2n) = 385 + 110 = 495 $ |
| ... | ... |
| 50 | $ n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) $，三个连续整数必有 2 和 3 的因数，故能被 6 整除 |
三、说明
以上题目难度较高，部分涉及高等数学知识，建议结合教材或参考资料进行深入理解。每道题的答案均通过逻辑推理或公式推导得出，适用于巩固基础知识、拓展解题思路。
如需完整版 50 道题目的详细解答过程，可进一步查阅相关数学资料或联系专业教师指导。
提示： 数学是一门需要不断练习和思考的学科，遇到难题不要轻易放弃，多角度分析，往往会有新的发现。
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