【三角比的所有公式】在数学中，三角比是研究三角函数及其相关关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了帮助学习者更好地掌握和应用这些公式，本文对常见的三角比公式进行了系统总结，并以表格形式进行展示，便于查阅与记忆。
一、基本定义
三角比通常是在直角三角形中定义的，设一个锐角为θ，则：
| 名称 | 定义式 | 符号表示 |
| 正弦 | 对边 / 斜边 | sinθ |
| 余弦 | 邻边 / 斜边 | cosθ |
| 正切 | 对边 / 邻边 | tanθ |
| 余切 | 邻边 / 对边 | cotθ |
| 正割 | 斜边 / 邻边 | secθ |
| 余割 | 斜边 / 对边 | cscθ |
二、基本恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1 / cscθ, cosθ = 1 / secθ, tanθ = 1 / cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 1 + tan²θ = sec²θ | |
| 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 三角比变化规律 |
| θ + 2π | sin(θ + 2π) = sinθ, cos(θ + 2π) = cosθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ, cos(π + θ) = -cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ, cos(-θ) = cosθ |
| π/2 - θ | sin(π/2 - θ) = cosθ, cos(π/2 - θ) = sinθ |
| π/2 + θ | sin(π/2 + θ) = cosθ, cos(π/2 + θ) = -sinθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB |
| 正弦差角公式 | sin(A - B) = sinA cosB - cosA sinB |
| 余弦和角公式 | cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB |
| 余弦差角公式 | cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB |
| 正切和角公式 | tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB) |
| 正切差角公式 | tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2 sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) = (1 - cosθ)/sinθ |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA cosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA sinB | [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinA sinB | [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
九、反三角函数基本关系（部分）
| 函数名称 | 反函数关系 |
| arcsin(x) | sin(arcsin x) = x |
| arccos(x) | cos(arccos x) = x |
| arctan(x) | tan(arctan x) = x |
| arcsin(x) + arccos(x) = π/2 | |
| arctan(x) + arctan(1/x) = π/2（x > 0） |
通过以上内容的整理，可以系统地掌握三角比的基本概念、常用公式及变换方法。建议结合图形理解其几何意义，同时多做练习题以加深记忆和应用能力。
