【转动惯量的计算公式】转动惯量是描述物体在旋转运动中惯性大小的物理量，类似于平动中的质量。它不仅与物体的质量有关，还与质量分布相对于旋转轴的位置密切相关。不同的几何形状和旋转轴会导致不同的转动惯量计算公式。
以下是对常见物体转动惯量公式的总结，并以表格形式展示，便于查阅和理解。
一、基本概念
转动惯量（Moment of Inertia）通常用符号 $ I $ 表示，单位为千克·平方米（kg·m²）。其定义式为：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中，$ m_i $ 是物体中某一点的质量，$ r_i $ 是该点到旋转轴的距离。
对于连续物体，公式变为积分形式：
$$
I = \int r^2 \, dm
$$
二、常见物体的转动惯量公式
| 物体形状 | 旋转轴位置 | 转动惯量公式 | 说明 |
| 质点 | 绕某点旋转 | $ I = mr^2 $ | $ m $ 为质量，$ r $ 为距离 |
| 均匀细杆 | 绕中心垂直轴 | $ I = \frac{1}{12}mL^2 $ | $ L $ 为杆长 |
| 均匀细杆 | 绕一端 | $ I = \frac{1}{3}mL^2 $ | 一端固定，绕该端旋转 |
| 圆环 | 绕中心轴 | $ I = mr^2 $ | $ r $ 为环半径 |
| 实心圆盘 | 绕中心轴 | $ I = \frac{1}{2}mr^2 $ | $ r $ 为盘半径 |
| 空心圆筒 | 绕中心轴 | $ I = mr^2 $ | $ r $ 为筒半径 |
| 实心球 | 绕通过中心轴 | $ I = \frac{2}{5}mr^2 $ | $ r $ 为球半径 |
| 空心球壳 | 绕通过中心轴 | $ I = \frac{2}{3}mr^2 $ | $ r $ 为球壳半径 |
| 长方体 | 绕中心垂直轴 | $ I = \frac{1}{12}m(a^2 + b^2) $ | $ a, b $ 为长宽 |
三、注意事项
1. 旋转轴位置影响结果：同一物体，若旋转轴不同，其转动惯量也会不同。
2. 质量分布决定惯性大小：质量越远离旋转轴，转动惯量越大。
3. 平行轴定理：若已知物体对某一轴的转动惯量 $ I_{\text{cm}} $，则对另一平行轴（距离为 $ d $）的转动惯量为：
$$
I = I_{\text{cm}} + md^2
$$
4. 垂直轴定理：适用于薄板状物体，绕垂直于板面的轴的转动惯量等于绕板面内两相互垂直轴的转动惯量之和。
四、总结
转动惯量是刚体旋转动力学中的重要参数，其计算依赖于物体的形状、质量分布以及旋转轴的位置。掌握常见物体的转动惯量公式，有助于理解和分析各种旋转问题，如陀螺效应、飞轮储能等。
通过上述表格可以快速查找不同物体的转动惯量表达式，便于学习和应用。
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