【已知二项分布】在概率论与统计学中，二项分布是一个非常重要的离散概率分布。它用于描述在固定次数的独立试验中，成功次数的概率分布情况。当每次试验只有两种可能的结果（即“成功”或“失败”）时，且每次试验的成功概率相同，这种情况下就可以使用二项分布来建模。
一、二项分布的基本概念
- 定义：设随机变量 $ X $ 表示在 $ n $ 次独立重复试验中，事件发生的成功次数，每次试验成功的概率为 $ p $，失败的概率为 $ 1 - p $，则 $ X $ 服从参数为 $ n $ 和 $ p $ 的二项分布，记作：
$$
X \sim B(n, p)
$$
- 概率质量函数（PMF）：
$$
P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
其中，$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 是组合数。
- 期望与方差：
$$
E(X) = np,\quad \text{Var}(X) = np(1-p)
$$
二、二项分布的适用条件
| 条件 | 描述 |
| 独立性 | 每次试验之间相互独立 |
| 固定次数 | 试验次数 $ n $ 是固定的 |
| 二元结果 | 每次试验只有两个可能的结果（成功/失败） |
| 恒定概率 | 每次试验成功的概率 $ p $ 不变 |
三、典型应用实例
| 应用场景 | 说明 |
| 投掷硬币 | 每次正反面出现的概率相等，计算正面出现次数的概率 |
| 质量检测 | 在一批产品中抽检，判断合格品数量的分布 |
| 问卷调查 | 计算某问题回答“是”的人数分布 |
| 游戏胜率 | 计算多次游戏中获胜次数的概率 |
四、二项分布的特征总结
| 特征 | 内容 |
| 类型 | 离散分布 |
| 参数 | $ n $（试验次数），$ p $（成功概率） |
| 支持集 | $ 0, 1, 2, ..., n $ |
| 均值 | $ np $ |
| 方差 | $ np(1-p) $ |
| 对称性 | 当 $ p = 0.5 $ 时对称，否则偏态分布 |
五、注意事项
- 当 $ n $ 很大而 $ p $ 很小时，二项分布可以用泊松分布近似。
- 当 $ n $ 很大且 $ p $ 接近 0.5 时，可以使用正态分布进行近似。
- 实际应用中，需要确保试验满足独立性和恒定概率的假设。
通过了解和掌握二项分布的基本原理及其应用场景，我们可以更有效地分析和预测实际问题中的随机现象。
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