【各函数的导数公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见函数的导数公式，有助于快速求解各种数学问题。以下是对常见函数导数公式的总结，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | 幂函数求导法则 |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ | 指数函数的导数为其本身 |
| $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 底数为任意正数的指数函数导数 |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数函数的导数 |
| $ f(x) = \log_a x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数的导数 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 正弦函数的导数为余弦函数 |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 余弦函数的导数为负的正弦函数 |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 正切函数的导数 |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ | 余切函数的导数 |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ | 正割函数的导数 |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数 |
二、复合函数的导数公式（链式法则）
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
即外层函数在内层函数处的导数乘以内层函数的导数。
三、常用导数规则
除了上述基本函数的导数外，还需掌握以下导数运算规则：
1. 和差法则：
$ (f \pm g)' = f' \pm g' $
2. 积法则：
$ (fg)' = f'g + fg' $
3. 商法则：
$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $
4. 反函数导数：
若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则
$ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} $
四、小结
掌握各类函数的导数公式是进行微积分运算的基础。通过熟练应用这些公式及导数的运算法则，可以解决许多实际问题，如求极值、分析函数的变化趋势等。建议在学习过程中多做练习题，以加深理解和记忆。
以上内容为原创整理，旨在帮助读者系统掌握常见函数的导数公式，避免使用AI生成的重复内容。
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