【点到平面的距离公式立体几何】在立体几何中，点到平面的距离是一个重要的概念，广泛应用于空间几何、工程计算和物理建模等领域。掌握点到平面距离的计算方法，有助于更深入地理解三维空间中的几何关系。
一、点到平面的距离公式总结
设有一个点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 和一个平面 $ \pi $，其方程为：
$$
Ax + By + Cz + D = 0
$$
则点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：
$$
d = \frac{
$$
其中：
- $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；
- $ D $ 是平面方程的常数项；
- 分母是法向量的模长，用于归一化距离单位。
二、公式应用示例
下面通过一个具体例子说明如何使用该公式进行计算。
示例：
已知点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - 3y + 6z - 5 = 0 $，求点 $ P $ 到该平面的距离。
步骤：
1. 将点坐标代入公式分子部分：
$$
$$
2. 计算分母：
$$
\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7
$$
3. 计算距离：
$$
d = \frac{9}{7}
$$
结果： 点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{9}{7} $。
三、点到平面距离公式的表格总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 点到平面距离公式 | $ d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D | }{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $ | 用于计算点 $ (x_0, y_0, z_0) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离 |
| 平面法向量 | $ \vec{n} = (A, B, C) $ | 平面的法向量方向由系数决定 | ||
| 距离单位 | 单位与坐标系一致（如米、厘米等） | 无额外单位转换 |
四、注意事项
1. 符号问题：公式中的绝对值确保了距离为正数，无论点在平面哪一侧。
2. 法向量方向：若平面方程为 $ Ax + By + Cz + D = 0 $，则法向量方向为 $ (A, B, C) $，但不改变距离的大小。
3. 特殊情况：若点位于平面上，则距离为 0。
五、小结
点到平面的距离公式是立体几何中的基本工具之一，能够帮助我们快速计算空间中任意一点到一个平面的距离。通过理解公式结构和实际应用，可以更好地掌握三维空间中的几何关系，并将其应用于各种实际问题中。
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