【全概率公式的定义】在概率论中，全概率公式是一个非常重要的工具，用于计算一个事件发生的总概率。它适用于当事件的发生依赖于多个互斥且穷尽的条件事件时。通过将这些条件事件的概率与相应的条件概率相乘并求和，可以得到目标事件的总体概率。

一、全概率公式的定义

全概率公式是指：若事件 $ B_1, B_2, \dots, B_n $ 是样本空间的一个划分（即它们两两互斥，且并集为整个样本空间），则对于任意事件 $ A $，有：

$$

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(AB_i)

$$

其中：

- $ P(B_i) $ 是事件 $ B_i $ 发生的概率；

- $ P(AB_i) $ 是在事件 $ B_i $ 已经发生的情况下，事件 $ A $ 发生的条件概率。

二、全概率公式的应用场景

三、全概率公式的理解要点

四、举例说明

假设某工厂有三台机器生产产品，各机器的产量占比分别为：

- 机器A：40%

- 机器B：35%

- 机器C：25%

而各机器生产的产品合格率分别为：

- 机器A：95%

- 机器B：92%

- 机器C：90%

那么，从该工厂随机抽取一件产品，它是合格品的概率为：

$$

P(\text{合格}) = 0.4 \times 0.95 + 0.35 \times 0.92 + 0.25 \times 0.90 = 0.927

$$

五、总结

全概率公式是概率论中的基础工具之一，帮助我们在复杂条件下计算事件的总概率。它强调了不同条件对结果的贡献，并在实际问题中具有广泛的应用价值。掌握这一公式有助于更深入地理解概率模型和实际问题的建模过程。

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