【求极限lim的常用公式】在高等数学中，求极限是微积分的重要基础内容之一。掌握常见的极限公式和计算方法，有助于快速解决各种极限问题。本文将总结一些常用的极限公式，并通过表格形式进行归纳整理，便于理解和记忆。
一、基本极限公式
以下是一些最基础且常用的极限公式，适用于初等函数和常见数列的极限计算：
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 常数极限 | $\lim_{x \to a} C = C$ | $C$ 是常数 |
| 自变量极限 | $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋于某一点时的极限 |
| 多项式极限 | $\lim_{x \to a} P(x) = P(a)$ | $P(x)$ 是多项式函数 |
| 分式极限 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$（若分母不为零） | 适用于连续函数的分式 |
| 指数函数极限 | $\lim_{x \to 0} e^x = 1$ | 指数函数在0处的极限 |
| 对数函数极限 | $\lim_{x \to 1} \ln x = 0$ | 对数函数在1处的极限 |
二、重要极限公式
以下是一些在求极限中非常重要的特殊极限公式，通常用于处理复杂表达式或极限形式：
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 第一个重要极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数中的经典极限 |
| 第二个重要极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 与三角函数相关的极限 |
| 无穷小量比较 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 用于比较不同无穷小量的阶 |
| 极限形式 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 定义自然对数底 $e$ 的极限 |
| 幂函数极限 | $\lim_{x \to 0} (1 + ax)^{1/x} = e^a$ | 与指数增长相关的极限 |
三、洛必达法则适用情况
当遇到不定型极限（如 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$）时，可以使用洛必达法则：
| 不定型 | 应用洛必达法则的条件 | 示例 |
| $\frac{0}{0}$ | $f(x) \to 0, g(x) \to 0$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | $f(x) \to \infty, g(x) \to \infty$ | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ |
四、泰勒展开与极限
对于复杂的函数极限，可以利用泰勒展开近似计算：
| 函数 | 泰勒展开（在 $x=0$ 处） | 极限应用示例 |
| $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ |
| $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$ | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ |
| $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots$ | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}$ |
五、总结
掌握这些常用的极限公式和方法，能够帮助我们在面对复杂的极限问题时，迅速找到解题思路。无论是直接代入法、洛必达法则，还是泰勒展开，都是解决极限问题的有效工具。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解与应用能力。
附：常用极限公式速查表
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 基本极限 | $\lim_{x \to a} C = C$ | 常数极限 |
| 多项式极限 | $\lim_{x \to a} P(x) = P(a)$ | 多项式函数极限 |
| 三角函数极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 经典极限 |
| 指数极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数极限 |
| 洛必达法则 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ | 适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型 |
以上内容结合了基础知识与实际应用，适合初学者和复习者参考。希望对你的学习有所帮助！
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