【空间向量垂直和平行的公式】在三维几何中，空间向量的垂直与平行关系是分析几何图形、物理运动以及工程计算中的重要基础。掌握空间向量之间的垂直与平行关系及其对应的数学公式，有助于更准确地理解空间结构和进行相关计算。
一、空间向量垂直的条件
两个空间向量若方向互相垂直，则它们的点积（内积）为零。这是判断两向量是否垂直的核心公式。
公式：
设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)
则向量 a ⊥ b 的充要条件是：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0
$$
二、空间向量平行的条件
两个空间向量若方向相同或相反，则它们成比例关系，即存在一个实数 λ，使得一个向量等于另一个向量乘以 λ。
公式：
设向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)
则向量 a ∥ b 的充要条件是：
$$
\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \lambda \quad (\text{其中 } b_i \neq 0)
$$
或等价地：
$$
\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}
$$
三、总结对比
| 判断关系 | 定义 | 数学表达 | 特点 |
| 垂直 | 方向互相垂直 | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ | 点积为零 |
| 平行 | 方向相同或相反 | $\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}$ 或 $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$ | 成比例 |
四、应用示例
- 垂直示例：若 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (-2, 1, 0)$，则 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \times (-2) + 2 \times 1 + 3 \times 0 = -2 + 2 + 0 = 0$，说明 $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$。
- 平行示例：若 $\mathbf{a} = (2, 4, 6)$，$\mathbf{b} = (1, 2, 3)$，则 $\mathbf{a} = 2 \times \mathbf{b}$，说明 $\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$。
通过以上公式和判断方法，可以快速判断两个空间向量之间的位置关系，为后续的空间几何问题提供理论支持。
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