【高中数学必修四向量练习题】在高中数学的学习过程中，向量是一个非常重要的知识点，尤其是在必修四中，向量部分不仅涉及基本概念的理解，还与几何、三角函数以及解析几何等多个内容紧密相关。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，下面提供一份精选的向量练习题，帮助大家巩固知识、提升解题能力。
一、选择题
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 向量可以比较大小
B. 零向量的方向是任意的
C. 向量的模是正实数
D. 同向的两个向量一定相等
2. 已知向量 a = (3, 4)，b = (−1, 2)，则 a + b 的坐标为（ ）
A. (2, 6)
B. (2, 5)
C. (3, 6)
D. (4, 6)
3. 若向量 a = (2, −3)，b = (x, 1)，且 a 与 b 垂直，则 x 的值为（ ）
A. 1.5
B. −1.5
C. 3
D. −3
4. 已知向量 a = (1, 2)，b = (3, 4)，则 a · b 的值为（ ）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
5. 向量 a = (2, 3)，b = (−1, 4)，则向量 a 与 b 的夹角的余弦值为（ ）
A. 10/√(13×17)
B. 10/√(13×10)
C. 10/√(13×25)
D. 10/√(13×19)
二、填空题
1. 向量 a = (−5, 12)，其模为 ________。
2. 向量 a = (2, 3)，b = (−1, 4)，则 a − b = ________。
3. 已知向量 a = (1, 2)，b = (3, 4)，若 a 与 b 共线，则实数 k 满足关系式：________。
4. 向量 a = (3, 4)，b = (−4, 3)，则 a 与 b 的夹角为 ________ 度。
5. 若向量 a = (x, 1)，b = (2, x)，且 a 与 b 平行，则 x 的值为 ________。
三、解答题
1. 已知向量 a = (1, 2)，b = (−2, 3)，求：
（1）a + b 的坐标；
（2）a − b 的坐标；
（3）a 与 b 的夹角（保留到小数点后一位）。
2. 已知向量 a = (2, 3)，b = (−1, 4)，求：
（1）a 与 b 的数量积；
（2）a 与 b 的夹角的余弦值；
（3）判断这两个向量是否垂直。
3. 已知向量 a = (k, 1)，b = (2, k)，若 a 与 b 垂直，求 k 的值。
4. 已知三点 A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)，求向量 AB 和 AC 的坐标，并判断它们是否共线。
5. 已知向量 a = (3, 4)，b = (−4, 3)，求：
（1）a + b 的模；
（2）a − b 的模；
（3）a 与 b 的夹角。
四、拓展思考题
1. 已知向量 a = (1, 2)，b = (3, 4)，是否存在实数 λ，使得 a + λb 与 a 垂直？若存在，求出 λ 的值。
2. 在平面直角坐标系中，已知点 A(2, 3)，B(−1, 4)，C(5, −2)，求向量 AB 和 AC 的夹角。
3. 已知向量 a = (x, y)，b = (y, x)，若 a 与 b 夹角为 60°，求 x 与 y 的关系。
通过这些练习题，同学们可以系统地复习和巩固向量的基本概念、运算方法以及应用技巧。建议在做题时注意规范书写，理解每一步的推导过程，这样才能真正掌握向量的相关知识，为后续学习打下坚实的基础。
