【北师大版九年级[上册]数学第一单元试卷】在九年级的数学学习中，第一单元通常围绕“一元二次方程”展开。这一部分内容不仅是初中阶段的重要知识点，也为后续学习函数、几何等内容打下坚实的基础。为了帮助学生更好地掌握本单元的知识点，下面将提供一份原创的试卷内容，旨在全面考查学生的理解与应用能力。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. $ x + 2 = 0 $
B. $ x^2 - 4x + 3 = 0 $
C. $ 2x + y = 5 $
D. $ \frac{1}{x} = 3 $
2. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的解是（ ）
A. $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $
B. $ x = 1 $ 或 $ x = 6 $
C. $ x = -2 $ 或 $ x = -3 $
D. 无实数解
3. 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 有两个相等的实数根，则判别式 $ \Delta $ 满足（ ）
A. $ \Delta > 0 $
B. $ \Delta = 0 $
C. $ \Delta < 0 $
D. 无法判断
4. 方程 $ (x - 1)^2 = 4 $ 的解为（ ）
A. $ x = 3 $
B. $ x = -1 $
C. $ x = 3 $ 或 $ x = -1 $
D. 无解
5. 若方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根为 2 和 -3，则 $ p + q $ 的值为（ ）
A. -1
B. 1
C. -5
D. 5
二、填空题（每空2分，共10分）
6. 方程 $ 2x^2 - 8 = 0 $ 的解为 __________。
7. 若方程 $ x^2 + mx + 12 = 0 $ 的一个根为 3，则另一个根为 __________。
8. 方程 $ x(x - 4) = 5 $ 化为一般形式为 __________。
9. 若方程 $ x^2 - 6x + k = 0 $ 有两个相等的实数根，则 $ k = $ __________。
10. 方程 $ (2x + 1)^2 = 9 $ 的解为 __________。
三、解答题（共25分）
11. 解下列方程：（每小题5分，共10分）
（1）$ x^2 - 5x + 6 = 0 $
（2）$ (x + 3)^2 = 16 $
12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (m + 1)x + m = 0 $ 有一个根为 2，求 $ m $ 的值，并求出另一个根。（5分）
13. 一个长方形的长比宽多 2 米，面积为 24 平方米，求这个长方形的长和宽。（5分）
14. 已知方程 $ x^2 - 4x + a = 0 $ 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的 2 倍，求 $ a $ 的值。（5分）
四、拓展题（共10分）
15. 设方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 的两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，若 $ x_1 + x_2 = 5 $，$ x_1 x_2 = 6 $，试求该方程的表达式，并判断其根的性质。（5分）
16. 某商品的售价每降低 1 元，销量增加 10 件。已知当售价为 50 元时，销量为 200 件。设售价为 $ x $ 元时，销量为 $ y $ 件，写出 $ y $ 关于 $ x $ 的关系式，并求出当售价为多少元时，销售额最大。（5分）
参考答案（供教师使用）
一、选择题
1. B
2. A
3. B
4. C
5. A
二、填空题
6. $ x = \pm 2 $
7. 4
8. $ x^2 - 4x - 5 = 0 $
9. 9
10. $ x = 1 $ 或 $ x = -2 $
三、解答题
11.（1）$ x = 2 $ 或 $ x = 3 $；（2）$ x = 1 $ 或 $ x = -7 $
12. $ m = 1 $，另一根为 1
13. 长为 6 米，宽为 4 米
14. $ a = 3 $
四、拓展题
15. 方程为 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，有两个不相等的实数根
16. $ y = -10x + 700 $，当售价为 35 元时，销售额最大
说明：本试卷依据北师大版九年级数学教材第一单元内容设计，注重基础与应用相结合，适合用于课堂检测或课后练习。
