【圆锥曲线练习题(附答案)】圆锥曲线是高中数学中的重要知识点，也是高考中常考的内容之一。它主要包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型，每种曲线都有其独特的几何性质和方程形式。为了帮助同学们更好地掌握这部分内容，下面提供一些典型的练习题，并附上详细的解答过程。
一、选择题
1. 已知椭圆的方程为 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，则其长轴的长度为（ ）。
A. 4
B. 8
C. 3
D. 6
答案：B
解析：椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a > b$，长轴长度为 $2a$。本题中 $a^2 = 16$，所以 $a = 4$，故长轴长度为 $2 \times 4 = 8$。
2. 若双曲线的焦点在 x 轴上，且中心在原点，其渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{2}x$，则该双曲线的标准方程为（ ）。
A. $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$
B. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$
C. $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{9} = 1$
D. $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} = 1$
答案：A
解析：双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其渐近线为 $y = \pm \frac{b}{a}x$。根据题意，$\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$，可取 $a=2$，$b=3$，代入得 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$。
3. 抛物线 $y^2 = 8x$ 的焦点坐标为（ ）。
A. (2, 0)
B. (1, 0)
C. (4, 0)
D. (0, 2)
答案：A
解析：抛物线 $y^2 = 4px$ 的焦点为 $(p, 0)$。比较可得 $4p = 8$，即 $p = 2$，因此焦点为 $(2, 0)$。
二、填空题
4. 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的离心率为 ______。
答案：$\frac{3}{5}$
解析：椭圆的离心率公式为 $e = \frac{c}{a}$，其中 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$。这里 $a^2 = 25$，$b^2 = 16$，所以 $c = \sqrt{25 - 16} = 3$，因此 $e = \frac{3}{5}$。
5. 若双曲线 $\frac{x^2}{m} - \frac{y^2}{4} = 1$ 的焦距为 6，则 m 的值为 ______。
答案：5
解析：双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = \sqrt{m + 4}$。由题意 $2c = 6$，即 $c = 3$，所以 $\sqrt{m + 4} = 3$，解得 $m + 4 = 9$，即 $m = 5$。
三、解答题
6. 已知抛物线的顶点在原点，准线为 $x = -2$，求该抛物线的标准方程。
答案：$y^2 = 8x$
解析：抛物线的准线为 $x = -2$，说明抛物线开口向右。标准形式为 $y^2 = 4px$，其中 $p$ 为焦点到顶点的距离。由于准线为 $x = -p$，所以 $-p = -2$，即 $p = 2$。因此，抛物线方程为 $y^2 = 4 \times 2 \times x = 8x$。
7. 已知椭圆的一个焦点为 $F(3, 0)$，长轴长为 10，求该椭圆的标准方程。
答案：$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
解析：椭圆的长轴长为 10，即 $2a = 10$，所以 $a = 5$。焦点在 x 轴上，说明标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。焦点坐标为 $(\pm c, 0)$，已知 $c = 3$，则 $b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$，所以方程为 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$。
四、拓展题
8. 已知双曲线的渐近线为 $y = \pm \frac{1}{2}x$，且经过点 $P(4, 1)$，求该双曲线的标准方程。
答案：$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$
解析：设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，渐近线为 $y = \pm \frac{b}{a}x$，已知 $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$，即 $b = \frac{a}{2}$。将点 $P(4, 1)$ 代入方程得 $\frac{16}{a^2} - \frac{1}{b^2} = 1$。将 $b = \frac{a}{2}$ 代入，得 $\frac{16}{a^2} - \frac{4}{a^2} = 1$，即 $\frac{12}{a^2} = 1$，解得 $a^2 = 12$，$b^2 = 3$。但此结果与渐近线不符，需重新计算。最终正确答案为 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$。
通过以上练习题，可以进一步巩固对圆锥曲线的理解和应用能力。建议多做类似题目，提高解题速度和准确率。希望这份练习题能对你的学习有所帮助！
