在学习和研究数学的过程中，掌握各种数学公式的使用方法是至关重要的。无论是初等数学还是高等数学，公式都是表达数学思想和解决问题的重要工具。本文将为大家整理一些常见且实用的数学公式，帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、代数部分
1. 二次方程求根公式：
对于形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，其解为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
2. 因式分解公式：
- 平方差公式：$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $
- 完全平方公式：$ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 $
3. 指数与对数运算：
- $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $
- $ \log_a (mn) = \log_a m + \log_a n $
- $ \log_a \left( \frac{m}{n} \right) = \log_a m - \log_a n $
二、几何部分
1. 勾股定理：
在直角三角形中，设斜边为 $ c $，两直角边为 $ a $ 和 $ b $，则有：
$$
a^2 + b^2 = c^2
$$
2. 圆的周长与面积公式：
- 周长：$ C = 2\pi r $
- 面积：$ A = \pi r^2 $
3. 三角形面积公式：
- 底乘高除以2：$ S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} $
- 海伦公式：若三角形三边为 $ a, b, c $，半周长为 $ s = \frac{a+b+c}{2} $，则面积为：
$$
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
三、微积分基础
1. 导数基本公式：
- $ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $
- $ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $
- $ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $
2. 积分基本公式：
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
四、概率与统计
1. 期望值公式：
对于离散随机变量 $ X $，其期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i)
$$
2. 方差公式：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
3. 正态分布概率密度函数：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
五、向量与矩阵
1. 向量点积公式：
设 $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $，$ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) $，则：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
2. 矩阵乘法：
若 $ A $ 是 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 是 $ n \times p $ 矩阵，则乘积 $ AB $ 是 $ m \times p $ 矩阵，其中每个元素为对应行与列的乘积之和。
六、其他常用公式
1. 三角函数恒等式：
- $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $
- $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
2. 三角函数和差公式：
- $ \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b $
- $ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b $
总结：
数学公式是连接抽象概念与实际问题的桥梁。通过熟练掌握这些公式，不仅能够提升解题效率，还能加深对数学本质的理解。希望本文能为你的数学学习提供一定的帮助。记住，公式只是工具，真正的理解来自于不断练习与思考。
