在高中阶段，数学作为一门基础学科，不仅对学生的逻辑思维能力有较高要求，同时也是各类考试中的重点科目。为了帮助学生更好地掌握知识点、提升解题技巧，定期进行数学练习是十分必要的。本文将提供一些典型的高中数学练习题，并附上详细的解答过程，供同学们参考和练习。
一、选择题
1. 若函数 $ f(x) = \log_2(x^2 - 4x + 3) $ 的定义域为（ ）
A. $ (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) $
B. $ [1, 3] $
C. $ (1, 3) $
D. $ (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $
解析：
要使对数函数有意义，必须满足真数大于0，即：
$$
x^2 - 4x + 3 > 0
$$
因式分解得：
$$
(x - 1)(x - 3) > 0
$$
解得：$ x < 1 $ 或 $ x > 3 $，因此定义域为 $ (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) $，选项 A 正确。
二、填空题
2. 已知向量 $ \vec{a} = (2, 3) $，向量 $ \vec{b} = (1, -1) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \_\_\_\_\_ $。
解析：
向量的点积公式为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
$$
代入数据得：
$$
2 \times 1 + 3 \times (-1) = 2 - 3 = -1
$$
答案为 -1。
三、解答题
3. 解不等式：
$$
\frac{x - 2}{x + 1} \geq 0
$$
解析：
首先确定分母不为零，即 $ x \neq -1 $。
然后考虑分子与分母的符号关系：
| 区间 | $ x - 2 $ | $ x + 1 $ | 分式符号 |
|--------------|-------------|-------------|-----------|
| $ x < -1 $ | 负| 负| 正|
| $ -1 < x < 2 $ | 负 | 正| 负|
| $ x > 2 $| 正| 正| 正|
当分式等于0时，$ x = 2 $，此时满足不等式。
综上，解集为：
$$
x \in (-\infty, -1) \cup [2, +\infty)
$$
四、应用题
4. 某公司生产一种产品，其成本函数为 $ C(x) = 50x + 1000 $，售价为每件 80 元，求利润最大时的产量。
解析：
利润函数为：
$$
P(x) = R(x) - C(x) = 80x - (50x + 1000) = 30x - 1000
$$
这是一个一次函数，随着 $ x $ 增大而增大，说明利润随产量增加而增加。
但由于题目未给出限制条件（如市场容量、设备限制等），理论上利润可以无限增长。
若需实际应用，应结合实际情况设定产量上限。
总结
通过上述练习题的训练，可以帮助学生巩固基础知识、提高解题速度和准确率。建议同学们在做题过程中注重理解概念，逐步积累经验，同时学会总结常见题型的解题思路。数学学习是一个循序渐进的过程，坚持练习才能取得更好的成绩。
如需更多练习题或详细讲解，请继续关注后续内容。
