在高中数学的学习过程中，必修4是关于三角函数与平面向量的重要章节。这一部分内容不仅是高考中的重点，也是后续学习解析几何、立体几何以及高等数学的基础。掌握好本章的公式和定理，对于提升数学成绩和理解数学思想具有重要意义。
本文将系统整理高中数学必修4中涉及的三角函数与平面向量的主要公式，帮助同学们全面复习、查漏补缺，构建清晰的知识体系。
一、三角函数公式
1. 三角函数的基本定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- $\sin \alpha = y$
- $\cos \alpha = x$
- $\tan \alpha = \frac{y}{x}$（x ≠ 0）
2. 同角三角函数关系
- $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
- $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
- $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$
- $1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$
3. 诱导公式（角度与单位圆对称性）
- $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$
- $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$
- $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$
- $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$
- $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$
- $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$
4. 和差角公式
- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$
5. 二倍角公式
- $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
- $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$
- $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$
6. 降幂公式
- $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$
- $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$
7. 正弦定理与余弦定理
- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
二、平面向量公式
1. 向量的表示与基本概念
- 向量可以用有向线段表示，也可用坐标形式表示。
- 设向量$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则：
- $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$
- $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$
- $k\vec{a} = (kx_1, ky_1)$，其中k为实数
2. 向量的模长
- $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
3. 向量的夹角公式
- 若两向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角为θ，则：
$$
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
$$
其中，$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ 是向量的数量积。
4. 向量共线与垂直
- 共线条件：若$\vec{a} = k\vec{b}$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$共线。
- 垂直条件：若$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，则$\vec{a} \perp \vec{b}$。
5. 向量的投影
- 向量$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影长度为：
$$
|\vec{a}| \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}
$$
三、三角函数与向量的综合应用
在实际问题中，常需要结合三角函数与向量进行分析与计算。例如：
- 在物理中，力的合成与分解常用向量方法；
- 在几何中，利用三角函数求解角度或距离；
- 在解析几何中，利用向量法处理直线与平面的位置关系。
四、总结
高中数学必修4中的三角函数与平面向量内容虽然繁多，但只要掌握核心公式与解题思路，就能轻松应对各种题目。建议同学们在学习时注重公式的推导过程，理解其几何意义，并通过大量练习加以巩固。
希望本文能为你的学习提供帮助，祝你在数学学习中不断进步！
