在2014年的全国硕士研究生入学考试中，数学二科目作为重要的基础学科之一，考察了考生对高等数学和线性代数的综合掌握能力。本文将针对这份试卷中的部分典型题目进行详细解析，帮助广大考生更好地理解知识点并提高解题技巧。
题目一：函数极限计算
题目描述
求函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} \) 在 \( x \to 2 \) 时的极限。
解析
首先观察到当 \( x \to 2 \) 时，分子和分母均趋于零，因此可以尝试使用洛必达法则或因式分解法来简化表达式。
1. 因式分解法
分子 \( x^3 - 8 \) 可以写成 \( (x-2)(x^2 + 2x + 4) \)，分母 \( x^2 - 4 \) 可以写成 \( (x-2)(x+2) \)。因此：
\[
f(x) = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{(x-2)(x+2)}
\]
当 \( x \neq 2 \) 时，\( x-2 \) 可以约去，得到：
\[
f(x) = \frac{x^2 + 2x + 4}{x+2}
\]
再令 \( x \to 2 \)，则：
\[
\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 + 4}{2 + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = 3
\]
2. 洛必达法则
直接应用洛必达法则，对分子和分母分别求导：
\[
f'(x) = \frac{3x^2}{2x}, \quad g'(x) = 2x
\]
因此：
\[
\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{3x^2}{2x} = \frac{3 \cdot 2^2}{2 \cdot 2} = 3
\]
最终答案为：\( \boxed{3} \)
题目二：矩阵特征值与特征向量
题目描述
已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)，求其特征值和对应的特征向量。
解析
1. 特征值计算
特征值满足方程 \( |A - \lambda I| = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。计算行列式：
\[
\det(A - \lambda I) = \det\left( \begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} \right)
\]
\[
= (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3
\]
解方程 \( \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \)，得特征值 \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3 \)。
2. 特征向量计算
对于 \( \lambda_1 = 1 \)，解方程 \( (A - \lambda_1 I)x = 0 \)：
\[
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
化简得 \( x_1 + x_2 = 0 \)，取 \( x_1 = 1, x_2 = -1 \)，特征向量为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 3 \)，解方程 \( (A - \lambda_2 I)x = 0 \)：
\[
\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
化简得 \( x_1 - x_2 = 0 \)，取 \( x_1 = 1, x_2 = 1 \)，特征向量为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
最终答案为：特征值 \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3 \)，对应的特征向量分别为 \( \boxed{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}} \) 和 \( \boxed{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}} \)。
以上是2014年数学二真题的部分解析，希望对大家备考有所帮助！如果还有其他问题，欢迎继续交流探讨。
