在数学的学习过程中，不定积分是一个非常重要的概念。它不仅是微积分的基础之一，也是解决许多实际问题的关键工具。今天，我们将通过一些具体的练习题来加深对不定积分的理解，并附上详细的解答过程。

练习题一

计算以下函数的不定积分：

\[ \int (3x^2 + 4x - 5) dx \]

解答：

根据不定积分的基本性质，我们可以将每个项分别进行积分：

\[

\int (3x^2 + 4x - 5) dx = \int 3x^2 dx + \int 4x dx - \int 5 dx

\]

对于每一项，我们应用幂函数积分公式 \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)（其中 \( n \neq -1 \)）：

\[

\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3

\]

\[

\int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2

\]

\[

\int 5 dx = 5x

\]

因此，原积分的结果为：

\[

\int (3x^2 + 4x - 5) dx = x^3 + 2x^2 - 5x + C

\]

其中 \( C \) 是积分常数。

练习题二

求解不定积分：

\[ \int e^{2x} dx \]

解答：

这里我们使用指数函数的积分规则 \( \int e^{kx} dx = \frac{e^{kx}}{k} + C \)，其中 \( k \neq 0 \)：

\[

\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

\]

练习题三

计算：

\[ \int \sin(3x) dx \]

解答：

对于三角函数的积分，我们利用公式 \( \int \sin(kx) dx = -\frac{\cos(kx)}{k} + C \)：

\[

\int \sin(3x) dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + C

\]

以上是一些基础不定积分的例子及其解答。不定积分的学习需要不断的实践和总结，希望这些题目能帮助大家更好地掌握这一知识点。继续努力，数学的世界还有很多精彩等着你去探索！