离散傅里叶变换的基本概念

首先，我们需要了解DFT的基本定义。对于一个有限长序列x(n)，其N点离散傅里叶变换X(k)可以表示为：

\[ X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k=0,1,...,N-1 \]

这里，\( e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \) 是复指数函数，它在频域上起到了分解信号的作用。

典型习题解析

例题1：计算给定序列的DFT

假设有一个长度为4的实数序列 \( x(n) = [1, 2, 3, 4] \)，请计算其DFT。

解：

根据DFT公式，我们依次计算每个k值对应的X(k)：

- 当 \( k=0 \):

\[ X(0) = \sum_{n=0}^{3} x(n)e^{-j\frac{2\pi}{4}\cdot0\cdot n} = x(0)+x(1)+x(2)+x(3) = 1+2+3+4 = 10 \]

- 当 \( k=1 \):

\[ X(1) = \sum_{n=0}^{3} x(n)e^{-j\frac{2\pi}{4}\cdot1\cdot n} = 1 + 2e^{-j\frac{\pi}{2}} + 3e^{-j\pi} + 4e^{-j\frac{3\pi}{2}} \]

计算得到 \( X(1) = -2j \)

类似地，可以求得 \( X(2), X(3) \) 的具体数值。

例题2：逆离散傅里叶变换（IDFT）

已知某信号的DFT结果 \( X(k)=[10, -2j, -2, 2j] \)，请还原原始信号 \( x(n) \)。

解：

使用IDFT公式：

\[ x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n=0,1,...,N-1 \]

代入数据并逐项计算即可恢复原信号 \( x(n) \)。

通过以上两道例题可以看出，掌握好DFT与IDFT的概念及计算方法对于解决实际问题至关重要。希望这些解答能帮助同学们加深对该部分内容的理解，并在学习过程中取得更好的成绩！