二次函数经典习题

在数学学习中，二次函数是一个非常重要的概念，它不仅在代数领域有着广泛的应用，还常常出现在物理、工程学等实际问题中。因此，掌握好二次函数的相关知识和解题技巧是非常必要的。

首先，我们来回顾一下二次函数的基本形式：\(y = ax^2 + bx + c\)，其中 \(a\)、\(b\)、\(c\) 是常数，且 \(a \neq 0\)。根据系数的不同，二次函数的图像可以呈现出开口向上或向下的抛物线形状。

接下来，让我们通过几个经典习题来加深对二次函数的理解：

练习一：求顶点坐标

已知二次函数 \(y = 2x^2 - 4x + 1\)，求其顶点坐标。

解析：顶点公式为 \((-b/2a, f(-b/2a))\)。将 \(a = 2\)，\(b = -4\) 带入，计算得顶点坐标为 \((1, -1)\)。

练习二：判别式与根的关系

对于二次方程 \(2x^2 - 3x + 1 = 0\)，判断其根的情况。

解析：利用判别式公式 \(\Delta = b^2 - 4ac\)，计算得 \(\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1\)。因为 \(\Delta > 0\)，所以该方程有两个不相等的实数根。

练习三：最值问题

某商品的利润函数为 \(P(x) = -x^2 + 10x - 24\)，求最大利润及对应的销售量。

解析：此问题需要找到函数的最大值。由于二次项系数为负，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处。顶点横坐标为 \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5\)。代入原函数，得最大利润为 \(P(5) = -(5)^2 + 10 \cdot 5 - 24 = 1\)。

通过以上习题，我们可以看到，二次函数的学习不仅涉及理论知识的掌握，还需要灵活运用各种公式和方法解决实际问题。希望这些经典习题能够帮助大家更好地理解和应用二次函数的知识。