在概率论与数理统计的学习中，随机过程是一个重要的分支领域，它研究的是随时间变化的随机现象。随机过程的概念和理论广泛应用于金融数学、信号处理、生物信息学以及物理学等多个学科。为了更好地理解这一复杂而迷人的主题，我们可以通过解决一些典型的习题来加深对随机过程的理解。

首先，让我们来看一个经典的马尔可夫链问题。假设有一个简单的天气模型，其中每天的天气状态只有两种：晴天或雨天。已知从晴天转到晴天的概率为0.8，从晴天转到雨天的概率为0.2；从雨天转到晴天的概率为0.3，从雨天转到雨天的概率为0.7。如果今天是晴天，请计算两天后仍然是晴天的概率。

解这个问题时，我们需要构建一个转移矩阵，并利用矩阵乘法来预测未来的状态分布。转移矩阵如下：

P = | 0.80.2 |

| 0.30.7 |

初始状态向量为 [1, 0]（表示第一天是晴天）。然后我们将这个向量与转移矩阵相乘两次以得到两天后的状态分布。

接下来，我们考虑泊松过程的一个应用实例。假设某医院平均每小时接收2名急诊患者，试求在接下来的30分钟内恰好有3名患者到达的概率是多少？

泊松过程的核心在于其事件发生的次数服从泊松分布。对于此例，平均发生率为λ=2人/小时，转换成30分钟的时间段即为λ=1人。因此，我们可以使用泊松分布公式 P(k; λ) = (λ^k e^-λ) / k! 来计算具体概率值。

通过上述两个例子，我们可以看到随机过程不仅能够描述自然界中的许多不确定现象，还能帮助我们做出合理的决策。当然，在实际应用中，随机过程的分析往往更加复杂，涉及更多高级数学工具和技术。但无论如何，掌握基础概念并通过练习巩固是非常关键的第一步。

希望这些习题能激发你对随机过程的兴趣，并引导你进一步探索这一充满挑战且富有回报的研究领域。记住，每一次尝试都是一次学习的机会！