在数学分析中，二重积分是处理平面区域上函数的一种重要工具，广泛应用于物理学、工程学以及经济学等领域。本文将通过一个具体的例题，详细讲解如何计算二重积分。
假设我们需要计算以下二重积分：
\[
I = \iint_D (x^2 + y^2) \, dA
\]
其中，区域 \( D \) 是由直线 \( x+y=1 \) 和坐标轴围成的第一象限的三角形区域。
解题步骤
第一步：确定积分区域
首先，我们需要明确积分区域 \( D \) 的边界。从题目描述可知，区域 \( D \) 被限定为直线 \( x+y=1 \) 与 \( x \)-轴和 \( y \)-轴所围成的三角形。因此，可以将其表示为：
\[
D = \{ (x,y) \mid 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1-x \}.
\]
第二步：设置积分顺序
根据积分区域的特点，选择合适的积分顺序。这里我们选择先对 \( y \) 积分，再对 \( x \) 积分，即：
\[
I = \int_0^1 \int_0^{1-x} (x^2 + y^2) \, dy \, dx.
\]
第三步：逐层积分
1. 对 \( y \) 进行积分：
\[
\int_0^{1-x} (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_0^{1-x}.
\]
将上下限代入后得到：
\[
\int_0^{1-x} (x^2 + y^2) \, dy = x^2(1-x) + \frac{(1-x)^3}{3}.
\]
2. 对 \( x \) 进行积分：
\[
I = \int_0^1 \left[ x^2(1-x) + \frac{(1-x)^3}{3} \right] dx.
\]
展开并分别计算每一项：
- 对于 \( x^2(1-x) \)，展开后为 \( x^2 - x^3 \)，积分得：
\[
\int_0^1 (x^2 - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
\]
- 对于 \( \frac{(1-x)^3}{3} \)，展开后为 \( \frac{1-3x+3x^2-x^3}{3} \)，积分得：
\[
\int_0^1 \frac{1-3x+3x^2-x^3}{3} \, dx = \frac{1}{3} \left[ x - \frac{3x^2}{2} + x^3 - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
\]
第四步：结果汇总
将两部分相加，最终结果为：
\[
I = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}.
\]
总结
通过上述步骤，我们成功计算了给定二重积分的值。这种方法展示了如何利用积分区域的几何特性来简化计算过程，并确保每一步都清晰明了。希望这个例子能帮助读者更好地理解和掌握二重积分的计算技巧。
