概率论是数学的一个重要分支，它研究随机事件的发生规律及其数量关系。在实际应用中，概率论广泛应用于金融、工程、医学、自然科学等领域。本文将系统地介绍概率论的基本概念和核心公式。
一、基本概念
1. 样本空间
样本空间是指所有可能结果的集合，通常记为 \( \Omega \)。
2. 事件
事件是样本空间的一个子集，表示一个或多个可能的结果。
3. 概率
概率是一个介于0和1之间的数值，表示某个事件发生的可能性大小。事件 \( A \) 的概率记为 \( P(A) \)。
4. 条件概率
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。记为 \( P(A|B) \)，表示在事件 \( B \) 发生的条件下，事件 \( A \) 发生的概率。
二、基本公式
1. 概率的基本性质
- 非负性：\( P(A) \geq 0 \)
- 归一性：\( P(\Omega) = 1 \)
- 可加性：若 \( A_1, A_2, \dots \) 是两两互斥的事件，则
\[
P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)
\]
2. 加法公式
对于任意两个事件 \( A \) 和 \( B \)，有：
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]
当 \( A \) 和 \( B \) 互斥时，\( P(A \cap B) = 0 \)，则：
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
\]
3. 乘法公式
对于任意两个事件 \( A \) 和 \( B \)，有：
\[
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)
\]
如果 \( A \) 和 \( B \) 独立，则 \( P(B|A) = P(B) \)，此时：
\[
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
\]
4. 全概率公式
设 \( B_1, B_2, \dots, B_n \) 是样本空间的一个划分，则对于任意事件 \( A \)，有：
\[
P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i) \cdot P(B_i)
\]
5. 贝叶斯公式
在全概率公式的基础上，贝叶斯公式用于计算后验概率：
\[
P(B_k|A) = \frac{P(A|B_k) \cdot P(B_k)}{\sum_{i=1}^n P(A|B_i) \cdot P(B_i)}
\]
三、常见分布及其公式
1. 二项分布
若随机变量 \( X \) 表示 \( n \) 次独立重复试验中成功次数，则 \( X \sim B(n, p) \)，其概率质量函数为：
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \dots, n
\]
2. 泊松分布
若随机变量 \( X \) 表示单位时间内某事件发生次数，则 \( X \sim Poisson(\lambda) \)，其概率质量函数为：
\[
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots
\]
3. 正态分布
若随机变量 \( X \) 服从正态分布 \( N(\mu, \sigma^2) \)，其概率密度函数为：
\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x \in \mathbb{R}
\]
四、总结
概率论的基本公式是理解和解决随机问题的关键工具。通过掌握这些公式，我们可以更好地分析和预测不确定事件的发生概率。希望本文的内容能够帮助读者深入理解概率论的核心思想，并在实际应用中灵活运用。
以上即为概率论的基本公式汇总，希望能对您有所帮助！
