在数学学习中，函数是一个非常重要的概念。而函数的定义域和值域则是函数性质研究中的核心部分。为了帮助大家更好地理解和掌握这部分知识，本文将通过一些经典习题来深入探讨函数定义域与值域的相关问题。

一、什么是定义域与值域？

定义域是指一个函数允许输入的所有可能的值的集合。换句话说，它表示的是自变量x可以取到的所有数值范围。

值域则是指当自变量x在其定义域内变化时，函数输出的所有可能结果组成的集合。即函数y=f(x)所能达到的最大最小值之间的所有可能值。

二、经典习题解析

接下来，我们将通过几个典型的例子来具体分析如何求解函数的定义域和值域。

例题1

求函数 \( f(x) = \sqrt{x - 3} \) 的定义域和值域。

- 定义域：由于平方根函数要求被开方数非负，因此 \( x - 3 \geq 0 \)，解得 \( x \geq 3 \)。所以该函数的定义域为 \([3, +\infty)\)。

- 值域：当 \( x \geq 3 \) 时，\( \sqrt{x - 3} \geq 0 \)，且随着x增大，其值也不断增大，因此值域为 \([0, +\infty)\)。

例题2

已知函数 \( g(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \)，求其定义域和值域。

- 定义域：分母不能为零，所以 \( x^2 - 4 \neq 0 \)，解得 \( x \neq \pm 2 \)。故定义域为 \( (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty) \)。

- 值域：由于分母恒正或恒负，分子为常数1，因此函数值可取任意实数，但不包括零。因此值域为 \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)。

三、总结

通过对上述两个典型例题的学习，我们可以看到，求解函数的定义域和值域需要结合函数的具体形式进行分析。定义域主要考虑使函数表达式有意义的条件；而值域则需根据函数图像或单调性等特性来确定。

希望以上内容能够帮助大家更清晰地理解函数定义域与值域的概念及其应用。在实际解题过程中，还需多加练习，灵活运用各种方法解决问题。