在考研数学中，高等数学是不可或缺的重要部分。而基本初等函数作为高等数学的基础，其图像与性质的理解和掌握对于考生来说至关重要。本文将从多个角度探讨这些函数的核心知识点，帮助大家更好地应对考试。

一、指数函数与对数函数

指数函数 \( y = a^x \)（其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)）：

- 当 \( a > 1 \)，函数单调递增，图像从左到右逐渐上升。

- 当 \( 0 < a < 1 \)，函数单调递减，图像从左到右逐渐下降。

- 指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数。

对数函数 \( y = \log_a x \)（其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)）：

- 当 \( a > 1 \)，函数单调递增，图像从左到右逐渐上升。

- 当 \( 0 < a < 1 \)，函数单调递减，图像从左到右逐渐下降。

- 对数函数的定义域为正实数，值域为全体实数。

二、幂函数

幂函数的形式为 \( y = x^n \)，其中 \( n \) 为常数。

- 当 \( n > 0 \)，函数在第一象限单调递增。

- 当 \( n < 0 \)，函数在第一象限单调递减。

- 幂函数的图像会随着 \( n \) 的变化呈现出不同的形态，需注意其奇偶性和对称性。

三、三角函数

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

- 正弦函数 \( y = \sin x \)：周期为 \( 2\pi \)，在每个周期内呈现波浪状波动。

- 余弦函数 \( y = \cos x \)：周期为 \( 2\pi \)，与正弦函数相比，相位差为 \( \frac{\pi}{2} \)。

- 正切函数 \( y = \tan x \)：周期为 \( \pi \)，在某些点上存在垂直渐近线。

四、反三角函数

反三角函数是对三角函数的逆运算。

- 反正弦函数 \( y = \arcsin x \)：定义域为 \([-1, 1]\)，值域为 \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)。

- 反余弦函数 \( y = \arccos x \)：定义域为 \([-1, 1]\)，值域为 \([0, \pi]\)。

- 反正切函数 \( y = \arctan x \)：定义域为全体实数，值域为 \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)。

五、总结

掌握基本初等函数的图像与性质，不仅能够提升解题速度，还能增强对问题本质的理解。在备考过程中，建议通过绘制函数图像来加深印象，并结合具体题目进行练习，从而达到熟练运用的目的。

希望以上内容能为您的考研复习提供一定的帮助！