练习题一：
设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，在区间 \([-2, 2]\) 上验证罗尔定理成立。
解答：
1. 首先检查条件是否满足：
- \( f(x) \) 在闭区间 \([-2, 2]\) 上连续。
- \( f(x) \) 在开区间 \((-2, 2)\) 内可导。
- \( f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \)
- \( f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 0 \)
因为 \( f(-2) = f(2) = 0 \)，且 \( f(x) \) 满足其他条件，所以罗尔定理成立。
2. 接下来求导数并解方程：
\[
f'(x) = 3x^2 - 3
\]
设 \( f'(c) = 0 \)，则
\[
3c^2 - 3 = 0 \implies c^2 = 1 \implies c = \pm 1
\]
因此，存在 \( c = 1 \) 和 \( c = -1 \) 满足罗尔定理。
练习题二：
证明函数 \( g(x) = e^x \sin x \) 在区间 \([0, \pi]\) 上满足拉格朗日中值定理，并求出对应的点 \( c \)。
解答：
1. 首先检查条件是否满足：
- \( g(x) \) 在闭区间 \([0, \pi]\) 上连续。
- \( g(x) \) 在开区间 \((0, \pi)\) 内可导。
因为 \( g(x) = e^x \sin x \) 是由初等函数复合而成，显然满足上述条件。
2. 根据拉格朗日中值定理，存在 \( c \in (0, \pi) \) 使得
\[
g'(c) = \frac{g(\pi) - g(0)}{\pi - 0}
\]
计算 \( g(0) \) 和 \( g(\pi) \)：
\[
g(0) = e^0 \sin 0 = 0, \quad g(\pi) = e^\pi \sin \pi = 0
\]
所以
\[
g'(c) = \frac{0 - 0}{\pi} = 0
\]
3. 求导数 \( g'(x) \) 并解方程：
\[
g'(x) = e^x (\sin x + \cos x)
\]
设 \( g'(c) = 0 \)，则
\[
e^c (\sin c + \cos c) = 0
\]
因为 \( e^c \neq 0 \)，所以
\[
\sin c + \cos c = 0 \implies \tan c = -1
\]
解得 \( c = \frac{3\pi}{4} \)（在区间 \((0, \pi)\) 内）。
通过以上练习题，我们可以看到罗尔定理和拉格朗日中值定理的实际应用。希望这些题目能够帮助你巩固相关知识点！
