在数学中，分式不等式是一种常见的题型，它涉及到分式形式的表达式与不等号的结合。解决这类问题时，需要掌握一定的技巧和方法。本文将通过实例分析，详细讲解分式不等式的解法。

一、分式不等式的定义

分式不等式是指含有分式的不等式，通常的形式为：

\[

\frac{f(x)}{g(x)} > 0 \quad \text{或} \quad \frac{f(x)}{g(x)} < 0

\]

其中，\( f(x) \) 和 \( g(x) \) 是关于 \( x \) 的多项式函数，且 \( g(x) \neq 0 \)。

二、解法步骤

1. 确定分母不为零的条件

首先，确保分母 \( g(x) \neq 0 \)，找出所有使 \( g(x) = 0 \) 的 \( x \) 值，并排除这些值。

2. 化简分式

如果可能，尝试对分子和分母进行因式分解，简化分式表达式。

3. 确定符号变化的关键点

将分子和分母的零点（即 \( f(x) = 0 \) 和 \( g(x) = 0 \)）标记在数轴上，这些点将数轴分为若干区间。

4. 测试每个区间的符号

在每个区间内选择一个测试点，代入分式计算其符号。根据符号的变化情况，确定满足不等式的区间。

5. 写出解集

根据符号测试的结果，写出满足不等式的 \( x \) 的范围。

三、例题解析

例题 1：解不等式 \(\frac{x+1}{x-2} > 0\)。

1. 确定分母不为零的条件

分母 \( x-2 \neq 0 \)，因此 \( x \neq 2 \)。

2. 化简分式

分式已经是最简形式。

3. 确定符号变化的关键点

分子 \( x+1 = 0 \) 的解为 \( x = -1 \)，分母 \( x-2 = 0 \) 的解为 \( x = 2 \)。这两个点将数轴分为三个区间：\( (-\infty, -1) \)、\( (-1, 2) \)、\( (2, +\infty) \)。

4. 测试每个区间的符号

- 在区间 \( (-\infty, -1) \)，取 \( x = -2 \)，代入分式得 \(\frac{-2+1}{-2-2} = \frac{-1}{-4} > 0\)。

- 在区间 \( (-1, 2) \)，取 \( x = 0 \)，代入分式得 \(\frac{0+1}{0-2} = \frac{1}{-2} < 0\)。

- 在区间 \( (2, +\infty) \)，取 \( x = 3 \)，代入分式得 \(\frac{3+1}{3-2} = \frac{4}{1} > 0\)。

5. 写出解集

满足不等式的区间为 \( (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \)。

四、注意事项

- 在解分式不等式时，务必注意分母不能为零的限制条件。

- 化简分式时要小心，避免遗漏重要的信息。

- 测试点的选择应尽量简单，以便快速判断符号。

通过以上方法，我们可以有效地解决分式不等式的问题。希望本讲义能帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。